Många sätt att närma sig Riemann-hypotesen har föreslagits under de senaste 150 åren, men ingen av dem har lett till att erövra det mest kända öppna problemet i matematik. Ett nytt papper i Förfaranden från National Academy of Sciences ( PNAS ) antyder att ett av dessa gamla tillvägagångssätt är mer praktiskt än tidigare insett.

"I ett förvånansvärt kort bevis, vi har visat att en gammal, det övergivna förhållningssättet till Riemann-hypotesen borde inte ha glömts bort, säger Ken Ono, en talteoretiker vid Emory University och medförfattare till uppsatsen. "Genom att helt enkelt formulera ett korrekt ramverk för ett gammalt tillvägagångssätt har vi bevisat några nya teorem, inklusive en stor del av ett kriterium som antyder Riemann-hypotesen. Och vårt allmänna ramverk öppnar också förhållningssätt till andra grundläggande obesvarade frågor."

Tidningen bygger på Johan Jensens och George Pólyas arbete, två av 1900-talets viktigaste matematiker. Den avslöjar en metod för att beräkna Jensen-Pólya-polynomen – en formulering av Riemann-hypotesen – inte ett i taget, men allt på en gång.

"Det fina med vårt bevis är dess enkelhet, " säger Ono. "Vi uppfinner inga nya tekniker eller använder några nya objekt i matematik, men vi ger en ny syn på Riemann-hypotesen. Alla någorlunda avancerade matematiker kan kontrollera vårt bevis. Det krävs ingen expert på talteori."

Även om tidningen inte lyckas bevisa Riemann-hypotesen, dess konsekvenser inkluderar tidigare öppna påståenden som är kända för att följa från Riemann-hypotesen, samt några bevis på gissningar inom andra områden.

Medförfattare till uppsatsen är Michael Griffin och Larry Rolen – två av Onos tidigare Emory-studenter som nu är på fakulteten vid Brigham Young University och Vanderbilt University, respektive – och Don Zagier från Max Planck Institute of Mathematics.

"Resultatet som fastställts här kan ses som ett ytterligare bevis mot Riemann-hypotesen, och i alla fall, det är ett vackert fristående teorem, " säger Kannan Soundararajan, en matematiker vid Stanford University och en expert på Riemann-hypotesen.

Idén till tidningen väcktes för två år sedan av ett "leksaksproblem" som Ono presenterade som en "gåva" för att underhålla Zagier under upptakten till en matematikkonferens som firade hans 65-årsdag. Ett leksaksproblem är en förminskad version av en större, mer komplicerade problem som matematiker försöker lösa.

Zagier beskrev den som Ono gav honom som "ett gulligt problem om det asymptotiska beteendet hos vissa polynom som involverar Eulers partitionsfunktion, som är en gammal kärlek till mig och Kens - och till i stort sett vilken klassisk talteoretiker som helst."

"Jag tyckte att problemet var svårlöst och jag förväntade mig inte riktigt att Don skulle komma någonstans med det, " Minns Ono. "Men han tyckte att utmaningen var superkul och snart hade han skapat en lösning."

Onos aning var att en sådan lösning skulle kunna skapas till en mer allmän teori. Det var vad matematikerna till slut uppnådde.

"Det har varit ett roligt projekt att arbeta med, en riktigt kreativ process, " Griffin säger. "Matte på forskningsnivå är ofta mer konst än beräkning och det var verkligen fallet här. Det krävde att vi såg på en nästan 100 år gammal idé om Jensen och Pólya på ett nytt sätt."

Riemann-hypotesen är ett av sju millennieprisproblem, identifieras av Clay Mathematics Institute som de viktigaste öppna problemen i matematik. Varje problem har en 1 miljon dollar i pris för sina lösare.

Hypotesen debuterade i en artikel från 1859 av den tyske matematikern Bernhard Riemann. Han märkte att fördelningen av primtal är nära relaterad till nollorna i en analytisk funktion, som kom att kallas Riemann zeta-funktionen. I matematiska termer, Riemann-hypotesen är påståendet att alla de icke-triviala nollorna i Zeta-funktionen har reell del ½.

"Hans hypotes är en munfull, men Riemanns motivation var enkel, " säger Ono. "Han ville räkna primtal."

Hypotesen är ett medel för att förstå ett av de största mysterierna inom talteorin - mönstret bakom primtal. Även om primtal är enkla objekt som definieras i elementär matematik (vilket som helst tal som är större än 1 utan några positiva divisorer förutom 1 och sig själv) förblir deras fördelning dold.

Det första primtalet, 2, är den enda jämna. Nästa primtal är 3, men primtal följer inte ett mönster av vart tredje tal. Nästa är 5, sedan 7, sedan 11. När du fortsätter att räkna uppåt, primtal blir snabbt mindre frekventa.

"Det är välkänt att det finns oändligt många primtal, men de blir sällsynta, även när du kommer till 100-talet, Ono förklarar. av de första 100, 000 nummer, bara 9, 592 är primtal, eller ungefär 9,5 procent. Och de blir snabbt sällsynta därifrån. Sannolikheten att välja ett tal slumpmässigt och ha det primtal är noll. Det händer nästan aldrig."

1927, Jensen och Pólya formulerade ett kriterium för att bekräfta Riemann-hypotesen, som ett steg mot att släppa lös dess potential att belysa primtal och andra matematiska mysterier. Problemet med kriteriet – att fastställa hyperboliciteten hos Jensen-Pólya-polynomen – är att det är oändligt. Under de senaste 90 åren, endast en handfull av polynomen i sekvensen har verifierats, vilket får matematiker att överge detta tillvägagångssätt som för långsamt och otympligt.

För PNAS papper, författarna utarbetade ett konceptuellt ramverk som kombinerar polynomen gradvis. Denna metod gjorde det möjligt för dem att bekräfta kriteriet för varje grad 100 procent av tiden, överskuggar den handfull fall som tidigare var kända.

"Metoden har en chockerande känsla av att vara universell, genom att det gäller problem som till synes inte är relaterade, " säger Rolen. "Och samtidigt, dess bevis är lätta att följa och förstå. Några av de vackraste insikterna i matematik är sådana som tog lång tid att inse, men när du ser dem, de verkar enkla och tydliga."

Trots deras arbete, resultaten utesluter inte möjligheten att Riemann-hypotesen är falsk och författarna tror att ett fullständigt bevis för den berömda gissningen fortfarande är långt borta.