En matematiker från RUDN University har hittat ett nytt kriterium för regelbundenhet hos generaliserade lösningar av ekvationerna för magnetisk hydrodynamik för en inkompressibel vätska i tredimensionellt rymd. Användningen av detta kriterium förenklar sökandet efter lösningar på sådana ekvationer och kan hjälpa metallurger att modellera beteendet hos smält metall, samt astrofysiker för att beskriva stjärnplasma. Artikeln publicerades i Journal of Mathematical Analysis and Applications .

Magnethydrodynamikens ekvationssystem beskriver beteendet hos vilken elektriskt ledande vätska som helst (smält metall, elektrolyter) eller plasma i närvaro av ett magnetfält, och består av två differentialekvationer som relaterar magnetfältet till hastighetsfältet. Lösningarna på dessa system kan delas in i två typer:klassiska och generaliserade (lösningar där differentieringsvillkoret inte är pålagt). Till skillnad från klassiska lösningar, generaliserade sådana måste kontrolleras för regelbundenhet (jämnhet). Matematiker utför en sådan kontroll med hjälp av kriterierna för regelbundenhet.

Maria Alessandra Ragusa från RUDN University och hennes kollegor fann att ekvationer i systemet kan reduceras till ett par ekvationer av liknande form. Om du byter ut det okända, den första ekvationen blir den andra, och vice versa. Detta resultat kan uppnås genom att överföra variabler. En kombination av de önskade fälten väljs som nya variabler:deras summa och skillnad. Systemet blir symmetriskt med avseende på sina nya okända. Detta innebär att variablerna kan bytas utan att lösningen ändras. Detta tillvägagångssätt förenklar att hitta svaret:istället för två olika ekvationer, ett par identiska löses.

Professor Ragusa utvecklade ett regularitetskriterium för generaliserade lösningar till det nya systemet. Det uttrycks i partiella derivator av kombinationer (summa och skillnad) av hastighetsfältet och magnetfältet. Kriteriet består av två lika villkor:för att lösningen ska ha egenskapen regelbundenhet, det räcker att minst en av dem är uppfylld. Efter att lösningarna till det nya systemet har hittats och kontrollerats för regelbundenhet, övergången från de nya koordinaterna till de önskade fälten blir lätt.

Kriteriet säger att lösningarna är jämna om skalärprodukten av de partiella derivaten av dessa lösningar tillhör Lebesgue-utrymmet med det givna villkoret.

För att bevisa kriteriets giltighet, Professor Ragusa och hennes kollegor förlitade sig på Ni, Guo, och Zhou-kriteriet. Genom att använda integraluppskattningar, hon lyckades visa att från villkoret för uppfyllandet av hennes kriterium, uppfyllelsen av Ni, Guo, och Zhou-kriteriet, som redan har bevisats, följer strikt, vilket innebär att lösningen är regelbunden.

Kriteriet som hittats av Ragusa och hennes kollegor är viktigt eftersom endast vanliga (släta) lösningar är lämpliga för att beskriva fysiska processer. Endast de beskriver korrekt beteendet hos den undersökta vätskan eller plasman.

Användningen av detta kriterium kommer att underlätta arbetet för metallurger som behöver simulera beteendet hos smält metall:många operationer vid smältning av metaller utförs genom att exponera den flytande metallen för ett alternerande magnetfält. För en korrekt beskrivning av sådana processer, det är nödvändigt att söka efter smidiga lösningar på ekvationssystemen för magnetisk hydrodynamik. Stjärnplasma, som kan betraktas som ett kontinuerligt medium, styrs också av ekvationerna för magnetisk hydrodynamik. Nya lösningar på systemen för dessa ekvationer kommer att göra det möjligt för astrofysiker att lära sig mer om plasmabeteende inuti stjärnor.