Integreringsfunktioner är en av de viktigaste applikationerna för kalkylen. Ibland är detta enkelt, som i:

F (x) \u003d ∫ (x ^{3 + 8) dx}

I ett jämförelsevis komplicerat exempel av denna typ kan du använda en version av grundformeln för att integrera obestämda integraler:

∫ (x ^{n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,}

där A och C är konstanter.

Således för detta exempel,

∫ x ^{3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
Integration av grundläggande fyrkantiga rotfunktioner}

På ytan är det svårt att integrera en kvadratrotfunktion. Till exempel kan du stymmas av:

F (x) \u003d ∫ √ [(x ^{3) + 2x - 7] dx}

Men du kan uttrycka en kvadratrot som en exponent, 1/2:

√ x ^{3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)}

Integralen blir därför :

∫ (x ^{3/2 + 2x - 7) dx}

som du kan använda den vanliga formeln från ovan:

\u003d x ^{(5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x}

\u003d (2/5) x ^{(5/2) + x 2 - 7x - Integrering av mer komplexa fyrkantiga rotfunktioner}

Ibland kan du ha mer än en term under radikaltecknet, som i detta exempel:

F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

Du kan använda u-substitution för att fortsätta. Här ställer du u lika med kvantiteten i nämnaren:

u \u003d √ (x - 3)

Lös detta för x genom att kvadratera båda sidorna och subtrahera:

u ^{2 \u003d x - 3}

x \u003d u ^{2 + 3}

Detta gör att du kan få dx i termer av u genom att ta derivatet av x:

dx \u003d (2u) du

Att ersätta tillbaka till den ursprungliga integralen ger

F (x) \u003d ∫ (u ^{2 + 3 + 1) /udu}

\u003d ∫ [(2u ^{3 + 6u + 2u) /u] du}

\u003d ∫ (2u ^{2 + 8) du}

Nu kan du integrera detta använder den grundläggande formeln och uttrycker u i form av x:

∫ (2u ^{2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C}

\u003d (2/3) [√ (x - 3)] ^{3 + 8 [√ (x - 3)] + C}

\u003d (2/3) (x - 3) ^{(3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C}