En av de viktiga operationerna du gör i calculus är att hitta derivat. Derivat av en funktion kallas även förändringshastigheten för den funktionen. Till exempel, om x (t) är läget för en bil när som helst t, så är derivatet av x, som är skrivet dx /dt, bilens hastighet. Även derivatet kan visualiseras som lutningen på en linje som är tangent till grafen för en funktion. På teoretisk nivå är det här matematiker hittar derivat. I praktiken använder matematiker uppsättningar av grundläggande regler och uppslagstabeller.

Derivatet som en sluttning

Lutningen av en linje mellan två punkter är ökningen eller skillnaden i y-värden dividerad med springa eller skillnaden i x-värden. Lutningen av en funktion y (x) för ett visst värde av x definieras som lutningen på en linje som är tangent till funktionen vid punkten [x, y (x)]. För att beräkna lutningen konstruerar du en linje mellan punkten [x, y (x)] och en närliggande punkt [x + h, y (x + h)], där h är ett mycket litet tal. För denna rad är körningen eller ändringen i x-värdet h, och uppgången eller förändringen i y-värdet är y (x + h) - y (x). Följaktligen är höjden av y (x) vid punkten [x, y (x)] ungefär lika med [y (x + h) - y (x)] /[(x + h) - x] = [y x + h) - y (x)] /h. För att få höjden exakt beräknar du höjdsvärdet när h blir mindre och mindre, till "gräns" där den går till noll. Lutningen som beräknas på detta sätt är derivatet av y (x), som är skrivet som y '(x) eller dy /dx.

Derivat av en effektfunktion

Du kan använda lutning /gräns metod för att beräkna derivaten av funktioner där y är lika med x till kraften av a, eller y (x) = x ^ a. Om y är lika med x-kubad, y (x) = x ^ 3, är dy /dx gränsen när h går till noll av [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] /h. Expanderande (x + h) ^ 3 ger [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] /h, vilket minskar till 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 efter att du delar upp av h. I gränsen när h går till noll, går alla termer som har h i dem också till noll. Så, y '(x) = dy /dx = 3x ^ 2. Du kan göra detta för värden på en annan än 3, och i allmänhet kan du visa att d /dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Derivat Från en Power Series

Många funktioner kan skrivas som vad som kallas en maktserie, som är summan av ett oändligt antal termer, där var och en är av formen C (n) x ^ n, där x är en variabel, n är ett heltal och C (n) är ett specifikt tal för varje värde av n. Exempelvis är kraftserien för sinusfunktionen Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., där "..." termer fortsätter på till oändligheten. Om du känner till kraftserien för en funktion kan du använda derivaten av effekten x ^ n för att beräkna funktionens derivat. Exempelvis är derivatet av Sin (x) lika med 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., vilket råkar vara kraftserien för Cos (x).

Derivat från tabeller

Derivaten av grundläggande funktioner, såsom krafter som x ^ a, exponentiella funktioner, logfunktioner och trigfunktioner, hittas med hjälp av höjnings- /gränsmetoden, effektseriemetoden eller andra metoder. Dessa derivat listas sedan i tabeller. Till exempel kan du kolla upp att derivatet av Sin (x) är Cos (x). När komplexa funktioner är kombinationer av de grundläggande funktionerna behöver du särskilda regler som kedjeregeln och produktregeln, som också ges i tabellerna. Till exempel använder du kedjeregeln för att finna att derivatet av Sin (x ^ 2) är 2xCos (x ^ 2). Du använder produktregeln för att finna att derivatet av xSin (x) är xCos (x) + Sin (x). Med hjälp av tabeller och enkla regler kan du hitta derivat av någon funktion. Men när en funktion är extremt komplex, använder forskare ibland datorprogram för hjälp.