När du börjar med tre ekvationer och tre okända (variabler) kanske du tror att du har tillräckligt med information för att lösa alla variabler. Men när man löser ett system av linjära ekvationer med hjälp av elimineringsmetoden kan man konstatera att systemet inte är tillräckligt bestämt att hitta ett unikt svar, och i stället är ett oändligt antal lösningar möjligt. Detta sker när informationen i en av ekvationerna i systemet är överflödig mot informationen i de andra ekvationerna.

Ett 2x2 exempel

3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Detta system av ekvationer är klart överflödig. Du kan skapa en ekvation från den andra genom att bara multiplicera genom en konstant. Med andra ord förmedlar de samma information. Trots att det finns två ekvationer för de två okända, x och y, kan lösningen av detta system inte begränsas till ett värde för x och ett värde för y. (x, y) = (1,1) och (5 /3,0) båda lösa det, liksom många fler lösningar. Det här är sorts "problem", den här bristen på information, som leder till ett oändligt antal lösningar i större system av ekvationer också.

Ett 3x3 exempel på

x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Underscores används bara för att upprätthålla avstånd.] Genom elimineringsmetoden, eliminera x från den andra raden genom att subtrahera den andra raden från den första, vilket ger x + y + z = 10 _2y = 10 x_ + z = 5 Eliminera x från den tredje raden genom att subtrahera den tredje raden från den första. x + y + z = 10 _2y = 10 y = 5 Tydligen är de två sista ekvationerna ekvivalenta. y är lika med 5, och den första ekvationen kan förenklas genom att eliminera y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 eller x + z = 5 y = 5 Observera att elimineringsmetoden inte kommer att ge en fin triangulär form här, som det gör när det finns en unik lösning. Istället kommer den sista ekvationen (om inte mer) att absorberas i de andra ekvationerna. Systemet är nu av tre okända och endast två ekvationer. Systemet heter "underdetermined", eftersom det inte finns tillräckligt med ekvationer för att bestämma värdet av alla variabler. Ett oändligt antal lösningar är möjliga.

Hur man skriver den oändliga lösningen

Den oändliga lösningen för ovanstående system kan skrivas i form av en variabel. Ett sätt att skriva det är (x, y, z) = (x, 5,5-x). Eftersom x kan ta ett oändligt antal värden, kan lösningen ta ett oändligt antal värden.