Det är ibland nödvändigt att hitta en icke-noll vektor som multipliceras med en kvadratisk matris, ger oss tillbaka en multipel av vektorn. Denna nonzero vektor kallas en "egenvektor". Eigenvektorer är inte bara av intresse för matematiker, utan även för andra inom yrken som fysik och teknik. För att beräkna dem måste du förstå matrisalgebra och determinanter.
Lär dig och förstå definitionen av en "egenvektor". Det finns en n x n kvadratisk matris A och även en skalär egenvärde som heter "lambda". Lambda representeras av den grekiska bokstaven, men här förkortas den till L. Om det finns en icke-noll vektor x där Axe = Lx, kallas denna vektor x för "egenvärde A."
Hitta egna värden av matrisen med hjälp av den karakteristiska ekvationen det (A - LI) = 0. "Det" står för determinanten och "I" är identitetsmatrisen.
Beräkna egenvektorn för varje egenvärde genom att hitta en eigenspace E (L), vilket är nullrummet för den karakteristiska ekvationen. De nonzero-vektorerna av E (L) är egenvektorerna av A. Dessa återfinns genom att plugga egenvektorerna tillbaka i den karakteristiska matrisen och hitta en grund för A-LI = 0.
Öva steg 3 och 4 av studerar matrisen till vänster. Visad är en kvadrat 2 x 2 matris.
Beräkna egenvärdena med hjälp av den karakteristiska ekvationen. Det (A - LI) är (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, vilket är det karakteristiska polynomet. Att lösa detta algebraiskt ger oss L1 = 4 och L2 = 2, som är egenvärdena för vår matris.
Hitta egenvektor för L = 4 genom att beräkna nollutrymmet. Gör detta genom att placera L1 = 4 i den karakteristiska matrisen och hitta grunden för A - 4I = 0. Lösning här finner vi x - y = 0 eller x = y. Detta har bara en oberoende lösning eftersom de är lika, som x = y = 1. Därför är v1 = (1,1) en egenvektor som spänner över egenskapen för L1 = 4.
Upprepa steg 6 till hitta egenvektor för L2 = 2. Vi hittar x + y = 0, eller x = --y. Detta har också en oberoende lösning, säg x = - 1 och y = 1. Därför är v2 = (--1,1) en egenvektor som spänner över egenskapen för L2 = 2.
