Av Usha Dadighat
31 juli 2023 15:24 EST
Föräldrafunktioner är de enklaste representanterna för hela familjer av matematiska funktioner. De fångar den väsentliga geometrin hos en funktion utan några tillagda transformationer som översättningar, skalningar eller rotationer. Genom att förstå överordnade funktioner kan du förutsäga nyckelfunktioner – axelavlyssningar, antal lösningar och övergripande form – för vilken som helst medlem av familjen.
Den kanoniska föräldern för linjära relationer är identitetslinjen:
y =x
I sin allmänna form uttrycks en linjär funktion som:
y =mx + b
Här roterar lutningen linjen runt origo, medan interceptetb förskjuter den vertikalt. Alla linjära grafer är räta linjer och har, om de inte är begränsade, både en x-skärning och en y-skärning.
m och b är konstanter (bråktal, decimaler eller valfritt reellt tal). De bestämmer linjens lutning och vertikala förskjutning.
Polynom omfattar ett stort antal former. Deras grundläggande form är
y =x^n
där är polynomets grad. Den enklaste föräldern med jämna grader är kvadratisk:
y =x²
och den enklaste föräldern med udda grader är kuben:
y =x³
Föräldrar med jämna grader bildar U-formade paraboler, medan föräldrar med udda grader uppvisar den klassiska S-formade kubiska kurvan. Polynom av högre grader lägger till ytterligare vändpunkter men delar fortfarande dessa kärnegenskaper.
Till skillnad från den överordnade, expanderar standardformen alla möjliga termer i ett polynom:
f(x) =a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0
Varje koefficient a_i kan vara vilket reellt tal som helst (inklusive noll), och tillsammans dikterar de formen på det specifika polynomet.
När variabeln visas i exponenten använder den enklaste föräldern Eulers konstante:
y =e^x
Detta fångar den snabba, asymptotiska tillväxtkarakteristiken för exponentiella kurvor.
Föräldern för absolut värde är enkel:
y =|x|
Den producerar den välbekanta V-formade grafen centrerad vid origo.
För den vanligaste radikalen är föräldern:
y =√x
Funktioner med högre rot följer samma princip, där rotens grad bestämmer krökningen.
Två mycket använda baser tillhandahåller överordnade funktioner för loggar:
y =lnx (naturlig logg, bas)
y =logx (vanlig log, bas10)
Eftersom trigonometriska familjer skiljer sig åt i beteende, väljer vi distinkta föräldrar:
y =sinx (sinusfamilj)
y =tanx (tangensfamilj)
Reciproka och inversa funktioner delar dessa grupperingar men har sina egna karakteristiska former.
Börja med att förenkla uttrycket för att känna igen sin familj. Till exempel:
y =(x+1)² → y =x² + 2x + 1
Detta är ett polynom med jämna grader, så dess överordnade graf är y =x².
Att rita denna överordnade graf ger en visuell referens för alla relaterade polynom, vilket gör att du kan sluta dig till skärningar, vändpunkter och allmänt beteende för mer komplexa ekvationer.
