demaerre/iStock/GettyImages
När du dyker in i trigonometri eller kalkyl kommer du att stöta på funktioner som sinus, cosinus och tangent. Att gissa värdet av en trigonometrisk ekvation med ett diagram eller en miniräknare kan vara tråkigt eller till och med omöjligt. Det är därför trigonometriska identiteter – korta, beprövade samband – är avgörande för att förenkla och lösa dessa ekvationer.
Dubbelvinkelidentiteter låter dig uttrycka sin(2θ), cos(2θ) och tan(2θ) i termer av enkelvinkelfunktioner. De är en delmängd av de mer allmänna summa- och differensformlerna.
Det finns två likvärdiga former:
\\(\\sin(2\\theta)=2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta)\\)
\\(\\sin(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)
Cosinus kan skrivas på flera användbara sätt:
\\(\\cos(2\\theta)=\\cos^2(\\theta)-\\sin^2(\\theta)\\)
\\(\\cos(2\\theta)=2\\cos^2(\\theta)-1\\)
\\(\\cos(2\\theta)=1-2\\sin^2(\\theta)\\)
\\(\\cos(2\\theta)=\\frac{1-\\tan^2(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)
Endast en praktisk blankett används:
\\(\\tan(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1-\\tan^2(\\theta)}\\)
Dessa identiteter är ovärderliga när du behöver skriva om ett trigonometriskt uttryck så att endast en typ av funktion finns kvar. Vinkelsymbolen kan vara vilken bokstav som helst – θ, α, x eller β – eftersom identiteten gäller för alla vinklar.
Skriv om cos2x+sin2x använder endast sinx och cosx:
\\(\\cos(2x)+\\sin(2x)=\\bigl(2\\cos^2(x)-1\\bigr)+\\bigl(2\\sin(x)\\cos(x)\\bigr)\\)
\\(\\quad=2\\cos(x)\\bigl(\\cos(x)+\\sin(x)\\bigr)-1\\)
1. Förenkla 2cos²32–1 :
\\(2\\cos^2(32)-1=\\cos(2\\times32)=\\cos(64)\\)
2. Förenkla 2sinαcosα där α=β⁄2 :
\\(2\\sin(α)\\cos(α)=\\sin(2\\alpha)=\\sin(\\beta)\\)
