Av Ariel Balter, Ph.D. Uppdaterad 30 augusti 2022
Hulton Archive/Getty Images News/Getty Images
I kalkyl är derivatan ett grundläggande verktyg som kvantifierar hur en funktion förändras. Till exempel om x(t) representerar positionen för ett fordon vid tidpunkten t , dess derivata dx/dt ger fordonets hastighet. Visuellt är derivatan lika med lutningen på tangentlinjen till funktionens graf vid en given punkt. Medan den begreppsmässiga definitionen förlitar sig på gränser, använder matematiker i praktiken en uppsättning standardregler och uppslagstabeller för att snabbt beräkna derivator.
Begreppsmässigt är lutningen på en rät linje mellan två punkter stigningen över körningen:Δy / Δx . För en funktion y(x) vid en specifik x , derivatan är lutningen på linjen som precis vidrör kurvan vid [x, y(x)] . För att uppskatta detta drar man en linje från [x, y(x)] till en närliggande punkt [x+h, y(x+h)] där h är mycket liten. Körningen är h och ökningen är y(x+h)-y(x) . Således är lutningen ungefär (y(x+h)-y(x))/h . Tar gränsen som h närmar sig noll ger den exakta lutningen, betecknad y'(x) eller dy/dx .
Med gränsdefinitionen kan vi härleda derivatan av en potensfunktion y(x)=x^a . Till exempel om y=x^3 , sedan
dy/dx=lim_{h→0}[(x+h)^3-x^3]/h .
Expanderar (x+h)^3 ger [(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3]/h=3x^2+3xh^2+h^2 . Som h tenderar till noll, termerna innehåller h försvinna och lämnar y'(x)=3x^2 . I allmänhet d/dx x^a = a x^{a-1} .
Många funktioner kan uttryckas som potensserier, d.v.s. oändliga summor av formen ∑_{n=0}^{∞}C_n x^n . Till exempel expanderar sinusfunktionen till
sin(x)=x- x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + …
Att differentiera term-by-term ger effektserien för cos(x) :
cos(x)=1- x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + …
Medan metoderna för limit och power-series utgör grunden förlitar sig matematiker ofta på förberäknade tabeller för elementära derivator:d/dx sin x = cos x , d/dx e^x = e^x , d/dx ln x = 1/x , och så vidare. För komposit- eller produktfunktioner är regler som kedjeregeln och produktregeln oumbärliga. Till exempel ger kedjeregeln d/dx sin(x^2)=2x cos(x^2) , och produktregeln ger d/dx[x sin x]=x cos x+sin x . Genom att kombinera dessa standardregler med tabellerna kan valfri differentierbar funktion hanteras analytiskt. När funktioner blir oerhört komplexa, används beräkningsverktyg som Mathematica eller SymPy för att automatisera processen.
