cyano66/iStock/GettyImages

När du först dyker in i trigonometri kommer du att möta en kraftfull uppsättning verktyg som kallas halvvinkelidentiteter. Dessa formler låter dig översätta trigonometriska uttryck som involverar θ /2 till uttryck som använder den mer bekanta vinkeln θ . I praktiken hjälper de dig att antingen förenkla ett uttryck eller beräkna det exakta värdet av en trigonometrisk funktion när argumentet är hälften av en välkänd vinkel.

Core Half-Angle Identities

Nedan är de primära identiteter du behöver. Även om många texter presenterar dem i en form, kan var och en algebraiskt omvandlas till flera användbara varianter.

Halvvinkelidentitet för sinus

\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

Halvvinkelidentitet för Cosinus

\(\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}\)

Halvvinkelidentiteter för Tangent

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 + \cosθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 – \cosθ}{\sinθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ – \cotθ\)

Halvvinkelidentiteter för Cotangent

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 – \cosθ}}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 – \cosθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 + \cosθ}{\sinθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ + \cotθ\)

Praktiskt exempel:Beräkning sin15°

Låt oss gå igenom hur du använder dessa identiteter för att hitta det exakta värdet på sin15° , en vinkel som inte ingår i standardfamiljen 30°, 45° eller 60°.

1. Uttryck vinkeln som hälften av ett känt värde

Ställ in θ /2 =15°, vilket ger θ =30°. Eftersom 30° är en välbekant vinkel kan vi använda sinushalvvinkelidentiteten.

2. Välj lämplig formel

För vi behöver synd , vi använder:\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

3. Lös ±-tecknet

Tecknet beror på kvadranten. Här θ =30° ligger i QuadrantI, där sinus är positivt, så vi släpper det negativa alternativet.

4. Ersätt kända värden

Byt ut cos30° med dess exakta värde \(\sqrt{3}/2\) :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{1 – \sqrt{3}/2}{2}}\)

5. Förenkla

Multiplicera täljaren och nämnaren inuti roten med 2 för att rensa bråket:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2(1 – \sqrt{3}/2)}{4}}\)

Vilket förenklar till:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}}\)

Faktorera slutligen kvadratroten ur 4:\(\sin(15°) =\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\)

Alltså det exakta värdet på sin15° är \(\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\) .

Snabb kvadrantreferens för teckenbestämning

• QuadrantI:alla funktioner är positiva.
• QuadrantII:sinus och cosecant är positiva.
• KvadrantIII:tangent och cotangens är positiva.
• QuadrantIV:cosinus och sekant är positiva.

Genom att följa dessa steg kan du med säkerhet tillämpa halvvinkelidentiteter på alla trigonometriska problem, oavsett om du förenklar ett uttryck eller hittar ett exakt värde.