thomas-bethge/iStock/GettyImages
I matematik är det reciproka för ett tal det värde som, multiplicerat med originalet, ger 1. Till exempel det reciproka för variabeln x är \frac{1}{x} eftersom x \times \frac{1}{x} =\frac{x}{x} =1 .
Inom trigonometri kan de två icke-räta vinklarna i en rätvinklig triangel uttryckas med de välkända förhållandena sinus, cosinus och tangens. För att utvidga detta koncept definierar matematiker de ömsesidiga förhållandena:cosecant (csc), secant (sek) och cotangens (cot). Dessa är reciproken av sinus, cosinus respektive tangens.
Betrakta en rätvinklig triangel med en spetsig vinkel θ . Låt sidan mittemot θ vara b , den intilliggande sidan vara a , och hypotenusan vara r . De primära trigonometriska förhållandena är:
\(\text{sinus }θ =\sin θ =\frac{b}{r}\)
\(\text{cosinus }θ =\cos θ =\frac{a}{r}\)
\(\text{tangent }θ =\tan θ =\frac{b}{a}\)
Per definition är det reciproka för varje förhållande värdet som multipliceras tillbaka till 1. Så definierar vi:
\(\text{cosecant }θ =\csc θ =\frac{1}{\sin θ} =\frac{r}{b}\)
\(\text{secant }θ =\sec θ =\frac{1}{\cos θ} =\frac{r}{a}\)
\(\text{cotangens }θ =\cot θ =\frac{1}{\tan θ} =\frac{a}{b}\)
Dessa ömsesidiga identiteter uppfyller följande grundläggande relationer för alla vinklar θ :
\(\sin θ \times \csc θ =1\)
\(\cos θ \times \sec θ =1\)
\(\tan θ \times \cot θ =1\)
Genom att känna till sinus och cosinus kan vi härleda tangent via kvotidentiteten:
\(\frac{\sin θ}{\cos θ} =\tan θ\)
\(\frac{\cos θ}{\sin θ} =\cot θ\)
Den pytagoreiska identiteten följer av rättriangelförhållandet a ² + b ² =r ². Omorganisering och ersättning av sinus- och cosinusförhållandena ger:
\(\sin^2 θ + \cos^2 θ =1\)
Att infoga de ömsesidiga identiteterna i detta uttryck ger ytterligare två väsentliga relationer:
\(\tan^2 θ + 1 =\sec^2 θ\)
\(\cot^2 θ + 1 =\csc^2 θ\)
Dessa identiteter utgör ryggraden i många trigonometriska bevis och tillämpningar, från enkel geometri till avancerade tekniska beräkningar.
