Bildkredit:diego_cervo/iStock/GettyImages
Trigonometri kan kännas abstrakt, men enhetscirkeln förvandlar dessa mysterier till konkret geometri. Genom att placera en cirkel med radie1 vid utgångspunkten för ett koordinatsystem blir varje trigonometriskt värde helt enkelt en punkts x- eller y-koordinat.
The unit circle has radius 1. Angles are measured from the point (1, 0) on the positive x‑axis and increase counter‑clockwise. För valfri vinkelθ:
En enhetscirkel är helt enkelt en cirkel vars radie är exakt en enhet. Den ena enheten kan vara meter, fot, tum – vilket mått som helst; nyckeln är att radien är 1. På grund av detta blir cirkelns omkrets och area enkla multiplar av π, och många trigonometriska formler reduceras till rena tal.
Placera cirkeln så att dess centrum sammanfaller med ursprunget för ett kartesiskt plan. Cirkeln skär den positiva x-axeln vid (1,0). Enligt konvention börjar vi mäta vinklar från den punkten och rör oss moturs. Således motsvarar punkten (1,0) 0°, (0,1) till 90°, (‑1,0) till 180° och (0,‑1) till 270° (eller –90°).
I grundkurser introduceras sin, cos och tan genom räta trianglar:
\(\sin\theta =\frac{\text{motsatt}}{\text{hypotenus}}\)
\(\cos\theta =\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenusa}}\)
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
On the unit circle the hypotenuse is always 1, so the equations simplify to:
\(\sin\theta =\text{motsatt}\)
\(\cos\theta =\text{intilliggande}\)
Om vi ritar en radie som gör en vinkel θ med den positiva x-axeln, är den "motstående" sidan y-koordinaten och den "intilliggande" sidan är x-koordinaten för den punkt där radien möter cirkeln. Consequently, sin θ is the y‑coordinate and cos θ is the x‑coordinate. This explains why sin 0° = 0 and cos 0° = 1, or sin 90° = 1 and cos 90° = 0.
Negativa vinklar hanteras naturligt:en medurs rotation från startpunkten delar samma x-koordinat som motsvarande positiva vinkel men vänder tecknet för y-koordinaten. Därför:
\(\cos(-\theta) =\cos\theta\)
\(\sin(-\theta) =-\sin\theta\)
Using the circle definitions of sin and cos, tan simplifies to the ratio of the y‑coordinate to the x‑coordinate:
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{y}{x}\)
Denna form gör det tydligt varför brun är odefinierad vid 90° (eller 270°), där x=0, eftersom division med noll är omöjligt.
När du tittar på enhetscirkeln varierar x-koordinaten mjukt från 1 ner till –1 när du flyttar från 0° till 180° och sedan tillbaka upp till 1 gånger 360°. The sine function follows the same pattern but reaches its peak of 1 at 90° first. Därför är sin och cos 90° ur fas. Tangent, som är förhållandet y/x, har vertikala asymptoter där x=0, vilket ger det välbekanta upprepande mönstret med odefinierade punkter vid udda multipler av 90°.
