Den 20 mars, Den amerikansk-kanadensiske matematikern Robert Langlands fick Abelpriset, firar livsprestationer i matematik. Langlands forskning visade hur begrepp från geometri, algebra och analys skulle kunna sammanföras genom en gemensam länk till primtal.

När kungen av Norge delar ut priset till Langlands i maj, han kommer att hedra den senaste i en 2, 300-åriga försök att förstå primtal, utan tvekan den största och äldsta datamängden inom matematik.

Som matematiker ägnad åt detta "Langlands-program, " Jag är fascinerad av primtalens historia och hur de senaste framstegen retar fram deras hemligheter. Varför har de fängslat matematiker i årtusenden?

Hur man hittar primtal

För att studera primtal, matematiker spänner heltal genom det ena virtuella nätet efter det andra tills endast primtal återstår. Denna siktningsprocess producerade tabeller med miljontals primtal på 1800-talet. Det gör att dagens datorer kan hitta miljarder primtal på mindre än en sekund. Men kärnan i sikten har inte förändrats på över 2, 000 år.

"Ett primtal är det som bara mäts av enheten, " skrev matematikern Euklid år 300 f.Kr. Detta betyder att primtal inte kan delas jämnt med något mindre tal förutom 1. Enligt konvention, matematiker räknar inte 1 själv som ett primtal.

Euklid bevisade oändligheten av primtal – de fortsätter för evigt – men historien tyder på att det var Eratosthenes som gav oss sikten för att snabbt lista primtalen.

Här är idén med silen. Först, filtrera bort multiplar av 2, sedan 3, sedan 5, sedan 7 – de fyra första primtal. Om du gör detta med alla siffror från 2 till 100, bara primtal finns kvar.

Med åtta filtreringssteg, man kan isolera primtal upp till 400. Med 168 filtreringssteg, man kan isolera primtal upp till 1 miljon. Det är kraften i Eratosthenes såll.

Tabeller och tabeller

En tidig figur i att tabulera primtal är John Pell, en engelsk matematiker som ägnade sig åt att skapa tabeller med användbara siffror. Han var motiverad att lösa gamla aritmetiska problem av Diophantos, men också genom en personlig strävan att organisera matematiska sanningar. Tack vare hans ansträngningar, primtal upp till 100, 000 var allmänt cirkulerade i början av 1700-talet. Vid 1800, oberoende projekt hade tabellerat primtal upp till 1 miljon.

För att automatisera de tråkiga siktningsstegen, en tysk matematiker vid namn Carl Friedrich Hindenburg använde justerbara reglage för att stämpla ut multipler över en hel sida i en tabell på en gång. En annan lågteknologisk men effektiv metod använde stenciler för att lokalisera multiplerna. I mitten av 1800-talet, matematikern Jakob Kulik hade gett sig in på ett ambitiöst projekt för att hitta alla primtal upp till 100 miljoner.

Denna "stora data" från 1800-talet kanske bara fungerade som referenstabell, om inte Carl Friedrich Gauss hade bestämt sig för att analysera primtalen för deras egen skull. Beväpnad med en lista med primtal på upp till 3 miljoner, Gauss började räkna dem, en "chiliad, " eller grupp på 1000 enheter, vid en tid. Han räknade primtal upp till 1, 000, sedan primtal mellan 1, 000 och 2, 000, sedan mellan 2, 000 och 3, 000 och så vidare.

Gauss upptäckte att när han räknade högre, primtalen blir gradvis mindre frekventa enligt en "invers-log"-lag. Gauss lag visar inte exakt hur många primtal det finns, men det ger en ganska bra uppskattning. Till exempel, hans lag förutspår 72 primtal mellan 1, 000, 000 och 1, 001, 000. Rätt antal är 75 primtal, cirka 4 procents fel.

Ett sekel efter Gauss första utforskningar, hans lag bevisades i "primtalssatsen". Den procentuella felen närmar sig noll vid större och större intervall av primtal. Riemanns hypotes, ett miljonprisproblem idag, beskriver också hur exakt Gauss uppskattning verkligen är.

Primtalssatsen och Riemanns hypotes får uppmärksamheten och pengarna, men båda följde upp tidigare, mindre glamorös dataanalys.

Moderna främsta mysterier

I dag, våra datamängder kommer från datorprogram snarare än handskurna stenciler, men matematiker hittar fortfarande nya mönster i primtal.

Förutom 2 och 5, alla primtal slutar på siffran 1, 3, 7 eller 9. På 1800-talet det bevisades att dessa eventuella sista siffror är lika vanliga. Med andra ord, om du tittar på primtal upp till en miljon, cirka 25 procent slutar på 1, 25 procent slutar på 3, 25 procent slutar på 7, och 25 procent slutar på 9.

Några år sedan, Stanfords talteoretiker Lemke Oliver och Kannan Soundararajan överrumplades av egenheter i de sista primtalssiffrorna. Ett experiment tittade på den sista siffran i ett primtal, samt den sista siffran i nästa primtal. Till exempel, nästa primtal efter 23 är 29:Man ser en 3:a och sedan en 9:a i sina sista siffror. Ser man 3 sedan 9 oftare än 3 sedan 7, bland de sista siffrorna i primtal?

Talteoretiker förväntade sig en viss variation, men vad de hittade överträffade vida förväntningarna. Primer separeras av olika luckor; till exempel, 23 är sex tal från 29. Men 3-sedan-9 primtal som 23 och 29 är mycket vanligare än 7-sedan-3 primtal, även om båda kommer från en lucka på sex.

Matematiker hittade snart en rimlig förklaring. Men, när det kommer till studiet av successiva primtal, matematiker är (för det mesta) begränsade till dataanalys och övertalning. Bevis – matematikers guldstandard för att förklara varför saker är sanna – verkar decennier bort.

Denna artikel publicerades ursprungligen på The Conversation. Läs originalartikeln.