En funktion uttrycker relationer mellan konstanter och en eller flera variabler. Exempelvis uttrycker funktionen f (x) = 5x + 10 ett förhållande mellan variabeln x och konstanterna 5 och 10. Känd som derivat och uttrycks som dy /dx, df (x) /dx eller f '(x), differentiering finner förändringshastigheten av en variabel med hänsyn till en annan - i exemplet f (x) med avseende på x. Differentiering är användbar för att hitta den optimala lösningen, vilket innebär att man hittar de maximala eller minimala förhållandena. Vissa grundläggande regler finns med avseende på differentierande funktioner.

Differentiera en konstant funktion. Derivatet av en konstant är noll. Till exempel, om f (x) = 5, då f '(x) = 0.

Använd kraftregeln för att differentiera en funktion. Maktregeln anger att om f (x) = x ^ n eller x höjdes till effekten n, så ökas f '(x) = nx ^ (n - 1) eller x till effekten (n - 1) och multipliceras med n. Om f (x) = 5x, då f '(x) = 5x ^ (1 - 1) = 5. På samma sätt, om f (x) = x ^ 10, då f' (x) = 9x ^ 9 ; och om f (x) = 2x ^ 5 + x ^ 3 + 10, sedan f '(x) = 10x ^ 4 + 3x ^ 2.

Hitta derivatet av en funktion med hjälp av produktregeln. Differensen av en produkt är inte produkten av skillnaderna i de enskilda komponenterna: Om f (x) = uv, där u och v är två separata funktioner, är f '(x) inte lika med f' (u) multiplicerat med f '(v). Snarare är derivaten av en produkt av två funktioner de första tiderna derivat av den andra plus den andra gånger derivaten av den första. Om exempelvis f (x) = (x ^ 2 + 5x) (x ^ 3) är derivaten av de två funktionerna 2x + 5 respektive 3x ^ 2. Med hjälp av produktregeln f '(x) = (x ^ 2 + 5x) (3x ^ 2) + (x ^ 3) (2x + 5) = 3x ^ 4 + 15x ^ 3 + 2x ^ 4 + 5x ^ 3 = 5x ^ 4 + 20x ^ 3.

Få derivaten av en funktion med kvotregeln. En kvotient är en funktion dividerad med en annan. Derivatet av en kvotient är lika med nämnaren gånger derivat av täljaren minus täljaren gånger derivat av nämnaren, sedan dividerat med nämnaren kvadrerad. Om exempelvis f (x) = (x ^ 2 + 4x) /(x ^ 3) är derivaten av täljaren och nämnarefunktionerna 2x + 4 respektive 3x ^ 2. Därefter användes kvotregeln f '(x) = [(x ^ 3) (2x + 4) - (x ^ 2 + 4x) (3x ^ 2)] /(x ^ 3) ^ 2 = (2x ^ 4 + 4x ^ 3 - 3x ^ 4 - 12x ^ 3 /x ^ 6 = (-x ^ 4 - 8x ^ 3) /x ^ 6.

Använd vanliga derivat. Derivat av gemensamma trigonometriska funktioner, som är vinklar, behöver inte härledas från första principer - derivaten av sin x och cos x är cos x respektive -sin x. Derivat av exponentiell funktion är själva funktionen - f (x) = f '(x) = e ^ x, och derivatet av den naturliga logaritmiska funktionen, ln x, är 1 /x. Till exempel, om f (x) = sin x + x ^ 2 - 4x + 5, då f '(x) = cos x + 2x - 4.