Av Chirantan Basu | Uppdaterad 30 augusti 2022
Ekvationen för ett plan i tredimensionell rymd kan uttryckas som ax + by + cz = d , där minst en av konstanterna a , b , eller c är icke-noll. När tre punkter är kända kan planet härledas med hjälp av vektorkorsprodukter, en pålitlig geometrisk teknik som garanterar en exakt lösning.
Märk punkterna A, B och C. Som illustration låter du A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 2) och C = (1, 3, 4).
Välj vilka två vektorer som helst som ligger på planet. Ett bekvämt val är AB och AC :
AB = B – A = (1–3, 4–1, 2–1) = (–2, 3, 1)AC = C – A = (1–3, 3–1, 4–1) = (–2, 2, 3)
Korsprodukten av AB och AC ger en vektor som är normal mot planet:
AB × AC = (a₂b₃ – a₃b₂, a₃b₁ – a₁b₃, a₁b₂ – a₂b₁)
Att ersätta koordinaterna ger:
AB × AC = (3·3 – 1·2, 1·(–2) – (–2)·3, (–2)·2 – 3·(–2)) = (7, 4, 2)
Den normala vektorn N är (7, 4, 2) .
Med hjälp av punkt C (eller någon känd punkt) och normalvektorn är planekvationen:
7(x – 1) + 4(y – 3) + 2(z – 4) = 0
Utvidgning och förenkling ger standardformuläret:
7x + 4y + 2z = 27
Ersätt var och en av de ursprungliga punkterna i ekvationen för att bekräfta att de uppfyller den. Alla tre punkter uppfyller 7x + 4y + 2z = 27 , validerar beräkningen.
Använd vektorkorsprodukter för att hitta ett plans normalvektor, anslut sedan vilken punkt som helst i punktproduktformen för att få planets ekvation.
