Medan de flesta länder runt om i världen förlitar sig på skuld för att finansiera sin regering och ekonomi, Att hålla denna skuld under kontroll är en ekonomisk nödvändighet. Stor statsskuld påverkar den långsiktiga ekonomiska tillväxten negativt. Ökning av en nations skuld resulterar i lägre privata investeringar, vilket leder till minskad tillväxt och löner på lång sikt. En hög skuldsättning kan vara skadlig även om det inte finns någon finansiell kris.

"Det finns en enorm debatt i det ekonomiska och politiska samfundet om hållbarheten hos den offentliga skulden, "observerar Giorgio Ferrari, professor i matematisk finansiering vid Universität Bielefeld i Tyskland, och huvudutredare vid universitetets Collaborative Research Center 1283. "Med hjälp av olika statistiska och metodologiska tillvägagångssätt, många forskare drar slutsatsen att hög statsskuld har en negativ effekt på den långsiktiga ekonomiska tillväxten, gör ekonomin mindre motståndskraftig mot makroekonomiska chocker, och sätter gränser för antagandet av en konjunkturpolitisk finanspolitik. "

Skuldkvoten i förhållande till bruttonationalprodukten (BNP) är en viktig indikator på ekonomins finansiella hävstång. "Under den senaste finanskrisen skuldkvoten-även kallad skuldkvot-exploderade i många länder, säger Ferrari, som föreslår en matematisk modell för kontroll av detta förhållande i ett papper för att publicera nästa vecka i SIAM Journal on Control and Optimization .

För att minimera den totala förväntade kostnaden för att betala skulder och genomföra åtgärder på skuldkvoten, regeringar väljer lämplig policy för skuldminskning, även om dessa inte alltid är utformade för maximal effektivitet.

"Det är oklart om regeringar planerar sin skuldminskningspolicy enligt ett optimeringskriterium, t.ex. maximering av social välfärd eller minimering av sociala kostnader, "Säger Ferrari." I den meningen, matematisk modellering kan ge en teoretisk bakgrund för sådana val, och kan ge insikter om policyn att följa. "

Ferrari modellerar problemet som ett kontinuerligt singulärt stokastiskt kontrollproblem, och försöker svara på frågan, "Hur mycket är för mycket? - som i, på vilken skuldnivå hjälper det för regeringen att betala tillbaka utan att påverka tillväxten? För många utvecklade nationer, vars skuldkvot i förhållande till BNP är långt ifrån risken för fallissemang, kostnaden för att höja skatten eller minska utgifterna för att minska skulden kan uppväga eventuella fördelar.

"I min modell, regeringarna står inför två motsatta kostnader, "Ferrari förklarar." Å ena sidan, de syftar till att minimera den totala förväntade möjlighetskostnaden på grund av skuld. Detta kan resultera, till exempel, från privata investeringar som tränger ut offentliga investeringar, lämnar mindre utrymme för offentliga satsningar, och från en tendens att drabbas av låg efterföljande tillväxt. Å andra sidan, genom att minska skulden genom, säga, finanspolitik, regeringen ådrar sig en kostnad som står i proportion till mångfalden av dess insatser. Det är viktigt för regeringar att på rätt sätt motverka dessa två kostnader, och ett sådant problem kan modelleras matematiskt genom ett så kallat singulärt stokastiskt kontrollproblem. "

Även om höga skuldkvoter i förhållande till BNP kan begränsa de ekonomiska framstegen genom att öka skuldbörden, statliga insatsstrategier har också påföljder proportionella mot mängden skuldminskning. Således är det ideala målet att välja en kumulativ skuldminskningspolicy som skulle begränsa den totala förväntade kostnaden för skuldsättning och den totala kostnaden för insatser.

"En regerings behov av att motverka kostnaderna för att ha skulder och minska den tyder på att den bör följa en tröskelstrategi - det vill säga den bör ingripa för att minska skuldkvoten endast när den senare är tillräckligt stor, "Ferrari påpekar." I min modell, i sin planering, regeringen tar också hänsyn till den nuvarande inflationen i landet, som inte är under regeringens kontroll, men hanteras av en autonom centralbank. Som ett resultat, den kritiska nivå på vilken regeringen bör agera för att stoppa tillväxten av den offentliga skulden är inflationsberoende, och denna optimala tröskel bestäms endogent som en del av lösningen på problemet. "

Förutsatt att regeringen kan minska skuldnivån kontra BNP genom vissa åtgärder - som att höja skatterna eller sänka kostnaderna - tolkar Ferraris grupp de kollektiva interventionerna på skuldkvoten som regeringens kontrollvariabel. Osäkerhet i modellen introduceras via inflationen i det givna landet.

"Klart, i verkligheten, när hanterar den offentliga skulden, regeringen bör också överväga andra makroekonomiska variabler än inflation, till exempel, räntor, BNP -tillväxttakt, och växelkurser, "Säger Ferrari." Men för att få ett matematiskt problem som kan behandlas, Jag har beslutat att bara fokusera på inflationens roll i skuldminskningsproblemet som regeringen står inför. "

Ferrari visar att det är optimalt för en regering att anta en politik som håller skuldkvoten i förhållande till ett inflationsberoende tak.

I sitt arbete visar han att lösningen av kontrollproblemet är relaterad till lösningen för ett extra optimalt stoppproblem som utvecklats när det gäller marginalkostnaden för att ha skuld och marginalkostnaden för intervention på skuldkvoten. I det optimala stoppproblemet, regeringen bestämmer den optimala tiden för att minska skuldkvoten med ytterligare en enhet med målet att minimera den därmed sammanhängande totala förväntade marginalkostnaden. Att lösa det optimala stoppproblemet kan då effektivt lösa kontrollproblemet.

Framtida arbete innebär metoder för att lindra skulder med begränsade data och faktorer utanför regeringens kontroll.

"Med samarbetspartners, min forskargrupp vid Center for Mathematical Economics vid Bielefeld University försöker för närvarande undersöka hur strategiska frågor kan komma in i bilden, hur en regering optimalt kan minska skuldkvoten när den bara har delvis information om de inblandade makroekonomiska mängderna, eller kan optimalt öka eller minska skuldnivån när räntan på skulder är stokastisk och påverkas av ekonomiska chocker som inte är under dess kontroll. "

Matematiska modeller utformade för att representera verkliga finansiella situationer kan vara både matematiskt fascinerande och anmärkningsvärt praktiska.

"Jag finner problem med optimal hantering av makroekonomiska kvantiteter - som offentlig skuld, inflation, eller växelkurser-mycket intressanta både ur ett vardagsliv och ett matematiskt perspektiv, "Säger Ferrari." De leder till mycket utmanande matematiska problem där man måste överväga samspelet mellan flera variabler, inklusive makroekonomiska och finansiella kvantiteter och flera agenter, som regeringen, centralbanker, och finansiella ombud. Jag tror att det fortfarande finns mycket att göra i den matematiska analysen/modelleringen av sådana problem. "