Matematiker från RUDN University har bevisat den unika fortsättningssatsen för en endimensionell lösning på ett diffusionsproblem med bråkordning. Sådana ekvationer används, till exempel, att lösa problem med diffusion av partiklar i ett poröst medium som läckage av grundvatten. Resultaten av matematikernas arbete skulle kunna leda till en mer exakt analys av lösningar och deras numeriska simulering. I det allmänna fallet, det finns inga sådana fortsättningssatser för andra klasser av liknande ekvationer. Artikeln publicerades i tidskriften Bråkräkning och tillämpad analys .

Diffusionsekvationen är en partiell differentialekvation som beskriver partiklars penetration i ett medium. Dess lösning är en funktion u av t och x , vilket ger partiklarnas densitet vid punkten x vid tidpunkten t . Den endimensionella diffusionsekvationen innehåller derivator av u med avseende på t , samt derivat av u med avseende på x och en andra derivata av u med avseende på x .

Den endimensionella ekvationen kallas även värmeledningsekvationen:Värmeutbredning kan betraktas som en form av diffusion. I den endimensionella fraktionella diffusionsekvationen, derivatan av u med avseende på t ersätts av Caputo-fraktionsderivatet. Om derivatan är gränsen för ett förhållande, sedan Caputo-bråkderivatet av bråkordning a bestäms av integralformel, var för heltalsvärden a det finns standardvärden för derivaten. För den vanliga endimensionella diffusionsekvationen, en fortsättningssats kan bevisas[s].[/s] Den säger att om densiteten och flödet av partiklar är noll vid en gränspunkt över ett tidsintervall, då finns det ingen diffusion i x och t under övervägande. Även en förstaårsstudent kan förstå beviset på detta påstående, dock, tills nyligen, liknande resultat för fraktionsdiffusionsekvationen var okända.

RUDN-universitetets matematiker Masahiro Yamamoto och hans kollegor övervägde den endimensionella fraktionella diffusionsekvationen för en godtycklig parameter a med ett värde mellan 0 och 1. De lyckades visa att det i bråkfallet också finns en fortsättningssats, dessutom, i samma formulering:om densiteten och flödet av partiklar är noll vid en gränspunkt över ett tidsintervall, då diffunderar ingenting.

Tanken med beviset är denna:Matematiker tar en lösning, titta på hur det beter sig i en fortsättning, och sedan få en integral uppskattning för ökningen av denna lösning, beroende på parametern. Av integraluppskattningen följer att den enda tillfredsställande lösningen är nolllösningen. Det finns inga kända liknande uppskattningar för liknande ekvationer med fraktionerade derivator.

Bråkdiffusionsekvationen tillämpas inom olika fysikområden, matematik, och datavetenskap. Till exempel, denna ekvation beskriver diffusionen av partiklar i ett poröst medium. Sådana ekvationer har framgångsrikt använts för att beskriva beteendet hos föroreningsutsläpp i grundvatten. Ett annat tillämpningsområde för sådana ekvationer är bildbehandling.