RUDN University matematiker har bevisat Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) ojämlikheter för klassen av generaliserade Riesz potentialer. Dessa resultat utökar omfattningen av dessa potentialer inom matematik och fysik eftersom de viktigaste verktygen för att arbeta med sådana potentialer är baserade på HLS-ojämlikheter. Nya matematiska verktyg kan avsevärt förenkla beräkningar inom kvantmekanik och andra fysikområden. Resultaten av studien publiceras i tidskriften Matematiska anteckningar .

Modern fysik beskriver världen i termer av fält och deras potentialer – det vill säga, fältets värden vid varje punkt. Men de fysiska storheter som vi kan mäta är krafter och accelerationer, det är, derivator av andra ordningens potential för motsvarande fält. Problemet med att rekonstruera fältkonfigurationen med tillgängliga värden på krafter och accelerationer som observerats i experiment är komplext och inte alltid analytiskt lösbart. Differentieringsoperationer i flerdimensionellt rymd—operatorer används vanligtvis för att beskriva korrelationen mellan fältets potential och krafterna. Särskilt, elektromagnetiska och gravitationella interaktioner beskrivs på operatörernas språk.

Eftersom fältets potential kan bestämmas upp till ett konstant värde, för att underlätta beräkningarna, det initiala värdet av potentialen tas någon gång i det flerdimensionella rummet, eller på gränsen till något rumsligt område. Men i vissa fall, matematiska modeller av sådana fält leder till en singularitet, det är, vid vissa tillfällen blir fältets värde oändligt, och förlorar därför sin fysiska betydelse.

Vagif Guliyev, forskaren vid Nikol'skii Institute of Mathematics vid RUDN University, och hans kollegor arbetade med utvecklingen av metoder som gör det möjligt att återställa konfigurationen av fältpotentialen med enbart analytiska metoder.

RUDN-universitetets matematiker studerade ett av de viktiga fallen för utvecklingen av kvantteorin - de nödvändiga och tillräckliga villkoren för begränsningen av Riesz-potentialen som genereras av Gegenbauers differentialoperator i vägda Lebesgue-rum Lp, λ. Deras studie utvecklar och kompletterar det tidigare beviset för Hardy-Littlewood-Sobolev-satsen för Gegenbauer-potentialen.

Operatörer definierade av Riesz-potentialer har många tillämpningar inom fysik – Riesz-potentialer inkluderar, till exempel, elektrostatisk potential.

Beviset på Hardy-Littlewood-Sobolev-ojämlikheten för generaliserade Riesz-potentialer innebär att fysiker och matematiker har ett verktyg som hjälper dem att avgöra i förväg, innan du utför mödosamma beräkningar, om det är möjligt att analytiskt beräkna fältets konfiguration med tillgängliga kraftvärden, och inte för att få en singularitet.

Resultaten av studien kan användas inom fysiken för att bestämma de förhållanden under vilka det är möjligt att återställa den rumsliga bilden av fysiska fält av olika karaktär, till exempel, inom området kvantelektrodynamik.