Primtal är mer än bara tal som bara kan delas med sig själva och ett. De är ett matematiskt mysterium, hemligheterna som matematiker har försökt avslöja ända sedan Euklid bevisade att de inte har något slut.

Ett pågående projekt – Great Internet Mersenne Prime Search – som syftar till att upptäcka fler och fler primtal av särskilt sällsynt slag, har nyligen resulterat i upptäckten av det största primtal som hittills känts. Sträcker sig till 23, 249, 425 siffror, den är så stor att den lätt skulle fylla 9, 000 boksidor. Som jämförelse, antalet atomer i hela det observerbara universum uppskattas inte ha mer än 100 siffror.

Numret, helt enkelt skrivet som 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 (två i potensen 77, 232, 917, minus ett) hittades av en volontär som hade ägnat 14 års datortid åt strävan.

Du kanske undrar, om numret sträcker sig till mer än 23 m siffror, varför behöver vi veta om det? De viktigaste siffrorna är väl de som vi kan använda för att kvantifiera vår värld? Så är inte fallet. Vi behöver veta om egenskaperna hos olika nummer så att vi inte bara kan fortsätta utveckla den teknik vi litar på, men också hålla det säkert.

Sekretess med primtal

En av de mest använda tillämpningarna av primtal i datorer är RSA -krypteringssystemet. 1978, Ron Rivest, Adi Shamir och Leonard Adleman kombinerade några enkla, kända fakta om siffror för att skapa RSA. Systemet som de utvecklat möjliggör säker överföring av information - till exempel kreditkortsnummer - online.

Den första ingrediensen som krävs för algoritmen är två stora primtal. Ju större siffror, desto säkrare är krypteringen. Räknetalet ett, två, tre, fyra, och så vidare – även kallade naturliga tal – är, självklart, mycket användbart här. Men primtalen är byggstenarna i alla naturliga tal och så ännu viktigare.

Ta siffran 70 till exempel. Division visar att det är produkten av två och 35. Vidare, 35 är produkten av fem och sju. Så 70 är produkten av tre mindre tal:två, fem, och sju. Detta är slutet på vägen för 70, eftersom ingen av dessa kan brytas ner ytterligare. Vi har hittat de primära komponenterna som utgör 70, ger sin primtalsfaktorisering.

Multiplicera två tal, även om det är mycket stort, är kanske tråkigt men en okomplicerad uppgift. Att hitta primtalsfaktorisering, å andra sidan, är extremt svårt, och det är precis vad RSA -systemet drar nytta av.

Antag att Alice och Bob vill kommunicera i hemlighet över internet. De kräver ett krypteringssystem. Om de först träffas personligen, de kan ta fram en metod för kryptering och dekryptering som bara de känner till, men om den första kommunikationen är online, de måste först öppet kommunicera själva krypteringssystemet – en riskabel verksamhet.

Dock, om Alice väljer två stora primtal, beräknar sin produkt, och kommunicerar detta öppet, att ta reda på vad hennes ursprungliga primtal var kommer att vara en mycket svår uppgift, eftersom bara hon känner till faktorerna.

Så Alice kommunicerar sin produkt till Bob, hålla hennes faktorer hemliga. Bob använder produkten för att kryptera sitt meddelande till Alice, som bara kan dekrypteras med hjälp av de faktorer som hon känner till. Om Eva tjuvlyssnar, hon kan inte tyda Bobs budskap om hon inte skaffar sig Alices faktorer, som aldrig kommunicerades. Om Eve försöker bryta ner produkten i dess främsta faktorer - även med den snabbaste superdatorn - finns det ingen känd algoritm som kan åstadkomma det innan solen exploderar.

Ursprånget

Stora primtal används också framträdande i andra kryptosystem. Ju snabbare datorer blir, desto större siffror kan de knäcka. För moderna applikationer, Det räcker med primtal som mäter hundratals siffror. Dessa siffror är små i jämförelse med jätten som nyligen upptäcktes. Faktiskt, den nya prime är så stor att – för närvarande – inga tänkbara tekniska framsteg i beräkningshastighet skulle kunna leda till ett behov av att använda den för kryptografisk säkerhet. Det är till och med troligt att riskerna med de hotande kvantdatorerna inte skulle behöva sådana monsternummer för att göras säkra.

Det är varken säkrare kryptosystem eller förbättrade datorer som drev den senaste Mersenne-upptäckten, dock. Det är matematikernas behov av att avslöja juvelerna inuti bröstet märkta "primtal" som driver den pågående jakten. Detta är en primär önskan som börjar med att räkna en, två, tre, och driver oss till forskningens gränser. Att näthandeln har revolutionerats är nästan en olycka.

Den hyllade brittiske matematikern Godfrey Harold Hardy sa:"Ren matematik är på det hela taget betydligt mer användbar än tillämpad. För det som är användbart framför allt är teknik, och matematisk teknik lärs ut huvudsakligen genom ren matematik". Oavsett om enorma primtal, såsom den 50:e kända Mersenne-primen med sina miljontals siffror, någonsin kommer att vara användbar är, åtminstone för Hardy, en irrelevant fråga. Förtjänsten av att känna till dessa siffror ligger i att släcka människosläktets intellektuella törst som började med Euklids bevis på oändligheten av primtal och fortfarande pågår idag.

Denna artikel publicerades ursprungligen på The Conversation. Läs originalartikeln.