Föreställ dig att en högtalare är placerad i ett rum med några mikrofoner. När högtalaren avger en ljudimpuls, mikrofonerna får flera fördröjda svar då ljudet ekar från varje vägg i rummet. Dessa första ordningens ekon – hörda efter att ljudimpulser bara har studsat en gång på en vägg – studsar sedan tillbaka från varje vägg för att skapa andra ordningens ekon och så vidare.

I en tidningspublicering nästa vecka i SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry , Mireille Boutin och Gregor Kemper försöker rekonstruera formen på ett rum med hjälp av första ordningens ekon som tas emot av fyra mikrofoner kopplade till en drönare. Mikrofonerna är inriktade i en stel konfiguration och ligger inte i ett gemensamt plan. Att placera mikrofoner på en drönare – snarare än oberoende i hela rummet – avslöjar nya användningsområden.

"Mikrofonerna lyssnar på en kort ljudimpuls som studsar på ändliga plana ytor - eller "väggarna, '" Boutin, en professor i matematik och el- och datateknik vid Purdue University, förklarar. "När en mikrofon hör ett ljud som har studsat på en vägg, tidsskillnaden mellan emission och mottagning av ljudet registreras. Denna tidsskillnad motsvarar den sträcka som ljudet tillryggalagt under den tiden."

Tidsfördröjningen för varje första ordningens eko ger författarna en uppsättning avstånd från varje mikrofon till spegelbilder av källan som reflekteras över varje vägg. Att identifiera den motsvarande väggen från vilken varje eko härrör är omöjligt; en mikrofon kanske inte ens tar emot ett eko från en given vägg baserat på dess konfiguration och rumsgeometri.

Författarna använder en känd modelleringsteknik för att fokusera på första ordningens ekon. Denna metod tolkar studsat ljud som att det kommer från en virtuell källa bakom väggen istället för från källan, vilket gör att en virtuell källpunkt kan representera varje vägg.

"Tidsskillnaderna mellan emission och mottagning ger avståndet mellan mikrofonen och den virtuella källpunkten, " säger Boutin. "Om vi ​​vet avståndet från en av dessa virtuella källpunkter till var och en av de fyra mikrofonerna, vi kan återställa koordinaterna för den virtuella källan och därefter rekonstruera fyra punkter på väggen - och därav planet som innehåller väggen."

Dock, mikrofonerna kan inte bestämma avståndet som motsvarar varje virtuell källpunkt, dvs. varje vägg. Som svar, Boutin och hennes kollegor designade en metod för att märka avstånden som korrelerar med varje vägg, en process som de kallar "ekosortering".

Ekosorteringstekniken använder ett polynom som ett screeningtest och upptäcker om de fyra avstånden ligger på nolluppsättningen av ett visst polynom i fyra variabler. Ett värde som inte är noll avslöjar att avstånden inte kan studsa från samma vägg. Alternativt om polynomet är lika med noll, avstånden kan möjligen komma från samma vägg.

Denna studie visar att rekonstruering av ett rum från första ordningens ekon som förvärvats av fyra mikrofoner är ett teoretiskt problem som är välpositionerat under allmänna förhållanden. "Detta är ett första steg mot att lösa motsvarande verkliga problem, " konstaterar Boutin. "Om problemet inte var välbelagt, då skulle en praktisk lösning kräva mer information. Men eftersom vi vet att den är välpositionerad, vi kan gå vidare till nästa steg:att hitta ett sätt att rekonstruera rummet när ekomätningarna är bullriga."

Denna uppgift är inte på något sätt okomplicerad. Vissa drönarplaceringar ger upphov till problem som inte är välplacerade, vilket tyder på att den bullriga versionen av problemet kommer att vara känslig för dålig kondition. Mer arbete är nödvändigt för att korrekt lösa problemet med att rekonstruera ett rum från ekon.

Även om det matematiska ramverket helt enkelt kräver en stel konfiguration av icke-koplanära mikrofoner, forskningen har en rad andra potentiella tillämpningar. "Dessa mikrofoner kan placeras i ett rum eller på vilket fordon som helst, som en bil, ett undervattensfarkost, eller en persons hjälm, "Gregor Kemper, professor vid institutionen för matematik vid Technische Universität München, förklarar. Författarnas journalpapper ställer upp exempel med stationära, inomhusljudkällor såväl som källor placerade på fordon som kan rotera och förskjutas på grund av rörelse; dessa senare källor presenterar betydligt mer komplicerade situationer.

"En bil i rörelse skiljer sig från en drönare eller ett undervattensfordon på ett intressant sätt, " tillägger Kemper. "Dess positioner har bara tre frihetsgrader - x-axlar, y-axlar, och orientering – medan en drönare har sex frihetsgrader. Vårt arbete indikerar att dessa sex frihetsgrader är tillräckliga för att nästan alltid upptäcka väggarna, men det betyder inte nödvändigtvis att tre grader också räcker. Fallet med en bil eller något ytbaserat fordon är föremål för pågående forskning av vår grupp."

Att uppnå beräkningsekonomi för sådana problem är ett viktigt mål för Boutin och Kemper. Deras metod kräver ett datoralgebrasystem för att utföra symboliska beräkningar, som kan bli mer beräkningsmässigt komplex för andra varianter av problemet, vilket begränsar dess expansion till liknande problem. "Att hitta en mindre beräkningsmässigt dyr teknik för att bevisa samma resultat skulle vara önskvärt, speciellt om denna metod visade sig vara tillämplig på andra fall, " säger Kemper. "Vårt matematiska ramverk är lämpligt för ytbaserade fordon, men de faktiska beräkningarna som krävs för beviset innebär utmaningar. Vi hoppas att andra team kommer att utforska denna fråga."