Sjukdomar har drabbat människor ända sedan det fanns människor. Malaria och tuberkulos tros ha härjat det gamla Egypten mer än 5, 000 år sedan. Från 541 till 542 e.Kr. beräknas den globala pandemin som kallas "Justinianus plåga" ha dödat 15–25 % av världens 200 miljoner befolkning. Efter den spanska erövringen av Mexiko, den infödda befolkningen sjönk från omkring 30 miljoner 1519 till bara tre miljoner 50 år senare. Idag kämpar vi för att kontrollera spridningen av covid-19, som har potential att orsaka den mest dödliga pandemin i mänsklighetens historia.

Det finns, dock, ett lite känt men mycket framgångsrikt vetenskapsområde som arbetar i bakgrunden för att ta reda på mysterierna kring infektionssjukdomar. När jag utforskar i matematiken om livet och döden, matematisk epidemiologi spelar en avgörande roll i kampen mot storskaliga infektionssjukdomar som covid-19.

Med grundläggande matematiska modeller, forskare kan börja förutsäga utvecklingen av sjukdomar och förstå effekten av ingrepp på sjukdomsspridning. Med mer komplexa modeller, vi kan börja svara på frågor om hur man effektivt allokerar begränsade resurser eller retar ut konsekvenserna av folkhälsoinsatser, som att stänga pubar och förbjuda sammankomster.

Insikter från matematisk modellering är avgörande för att säkerställa att myndigheter kan förhindra så många dödsfall som möjligt. När covid-19-pandemin eskalerar, här är en titt inuti modelleringen som experter använder för att försöka ligga steget före viruset.

S-I-R-modellen

En av de enklaste matematiska modellerna för sjukdomsspridning delar upp befolkningen i tre grundläggande kategorier efter sjukdomsstatus. Människor som ännu inte har haft sjukdomen betecknas som "mottagliga". Alla antas vara födda mottagliga och kapabla att bli smittade. De som har fått sjukdomen och är kapabla att överföra den till mottagliga är "smittsamma". Den tredje gruppen kallas eufemistiskt den "borttagna" klassen. Det här är människorna som har haft sjukdomen och återhämtat sig och nu är immuna, eller de som har dött. Dessa "borttagna" individer bidrar inte längre till spridningen av sjukdomen.

Detta kallas S-I-R-modellen. Från denguefeber i Latinamerika till svinpest i Nederländerna och norovirus i Belgien, S-I-R-modellen kan ge viktiga lärdomar för hur man förhindrar att sjukdomar sprids.

Denna modell illustrerar vikten av social isolering för de smittade. Genom att stanna hemma tills du är helt återställd, du tar dig själv från den infekterade klassen direkt till den borttagna klassen utan att smittas av viruset. Denna enkla åtgärd kan minska storleken på ett utbrott genom att minska möjligheterna för sjukdomen att överföra till känsliga individer.

Huruvida ett utbrott sprider sig eller dör ut dikteras till stor del av ett enda nummer som är unikt för det utbrottet - det grundläggande reproduktionsnumret.

Tänk på en befolkning som är helt mottaglig för en viss sjukdom – ungefär som den globala befolkningen i december 2019, i början av covid-19-utbrottet. Det genomsnittliga antalet tidigare oexponerade individer infekterade av en enda, nyligen introducerad sjukdomsbärare är känt som det grundläggande reproduktionsnumret, och ofta betecknad Rq (uttalas "R-nought" eller "R-noll").

Om en sjukdom har en R₀ mindre än en, då kommer infektionen att dö ut snabbt när varje smittsam person överför sjukdomen, i genomsnitt, till mindre än en annan individ. Utbrottet kan inte upprätthålla sin egen spridning. Om R0 är större än ett kommer utbrottet att växa exponentiellt.

Exponentiell explosion

Tidiga uppskattningar av det grundläggande reproduktionstalet för COVID-19 satte det någonstans mellan 1,5 och 4, med ett värde på minst 2 i december och januari. Med ett grundreproduktionsnummer på 2, den första personen med sjukdomen sprider den till två andra, vem var och en, i genomsnitt, sprid sjukdomen till två andra och sedan till två andra vardera, och så vidare.

Denna exponentiella tillväxt är karakteristisk för den inledande fasen av infektionen. Om spridningen fick fortsätta så här, tio generationer ner i utvecklingskedjan, över 1, 000 personer skulle bli smittade. Tio steg längre fram, vägtullen skulle stiga till över en miljon.

I praktiken, den exponentiella tillväxten som förutsägs av det grundläggande reproduktionstalet upprätthålls sällan längre än några generationer. Utbrotten når så småningom en topp och minskar sedan på grund av den minskande frekvensen av kontakter mellan smittsamma och mottagliga.

Även när det inte finns några smittsamma kvar och utbrottet är officiellt över, vissa mottagliga ämnen kommer att finnas kvar. S-I-R-modellen kan ge en uppskattning av den slutliga epideminstorleken – antalet personer som smittats i slutet av ett utbrott om inga korrigerande åtgärder vidtogs. I den nedre delen av uppskattningarna för covid-19, ett reproduktionstal på 1,5, innebär att 58 % av befolkningen skulle bli smittade. I den högre delen av uppskattningarna, med ett R₀ på 4, S-I-R-modellen förutspår att endast 2 % av människorna skulle förbli oinfekterade om inga åtgärder vidtas.

Ett avgörande nummer

Det grundläggande reproduktionsnumret är användbart för att förstå nästan alla utbrott eftersom det slår ihop alla subtiliteter av sjukdomsöverföring till en enda figur. Från det sätt på vilket infektionen utvecklas i kroppen, till överföringssättet – och till och med strukturen i de samhällen inom vilket det sprider sig – fångar det alla utbrotts nyckeldrag och låter oss reagera därefter.

R₀ kan vanligtvis delas upp i tre komponenter:befolkningens storlek, hastigheten med vilken mottagliga personer blir infekterade (ofta känd som infektionskraften), och graden av återhämtning eller död från sjukdomen. Att öka de två första av dessa faktorer ökar R₀, samtidigt som en ökning av återvinningsgraden minskar den. Ju större population och desto snabbare sprider sig sjukdomen mellan individer, desto större är troligen utbrottet. Ju snabbare individer återhämtar sig, ju mindre tid de har på sig att överföra sjukdomen till andra och, följaktligen, desto lättare blir det att få ett utbrott under kontroll.

Sedan finns det effektiv reproduktionsnummer. Detta är det genomsnittliga antalet sekundära infektioner som orsakas av en smittsam individ vid en given tidpunkt i utbrottet. Om, genom ingripande, det effektiva reproduktionsnumret kan sänkas under ett, då dör sjukdomen ut.

Dödsfall i fall

Även om det är avgörande för sjukdomskontroll, R₀ berättar inte hur allvarlig en sjukdom är för en infekterad individ. Andelen smittade personer som i slutändan dör av en sjukdom kallas dödligheten.

En extremt infektionssjukdom som mässling, med ett R0 mellan 12 och 18, har en relativt låg dödlighetsfrekvens jämfört med de 50–70 % av ebolapatienterna som så småningom kommer att dö av sjukdomen. Som ett resultat, mässling anses vanligtvis vara mindre allvarlig än ebola även om ebola har ett mycket mindre R₀ på cirka 1,5. Tidiga uppskattningar tyder på att antalet dödsfall av covid-19 är mellan 0,25 % och 3,5 %.

Det är viktigt att komma ihåg att antalet dödsfall inte är fast – det beror på samhällets och individernas reaktioner på sjukdomen, såväl som på demografin hos befolkningen den infekterar. Till exempel, antalet dödsfall för covid-19 verkar variera avsevärt med patientens ålder, med de äldre som drabbas värst.

Kanske överraskande, sjukdomar med höga dödlighetstal tenderar att vara mindre smittsamma. Om en sjukdom dödar för många av sina offer för snabbt minskar den risken att föras vidare. Sjukdomar som dödar de flesta människor de smittar och som även sprids effektivt är mycket sällsynta, och är vanligtvis begränsade till katastroffilmer.

Även om en hög dödlighetsfrekvens avsevärt väcker farhågor under ett utbrott, Sjukdomar med hög R₀ men dödsfall i små bokstäver (tänk covid-19 i jämförelse med ebola) kan sluta med att fler människor dödas på grund av det större antalet de infekterar.

Att kontrollera ett utbrott

Ett av de mest effektiva alternativen för att minska sjukdomsspridningen är vaccination. Genom att ta människor direkt från mottagliga till borttagna, kringgå infektionstillståndet, det minskar effektivt storleken på den mottagliga befolkningen.

Men vaccination är vanligtvis en försiktighetsåtgärd som används för att minska sannolikheten för att utbrott ska inträffa i första hand. När utbrott som den nuvarande covid-19-pandemin är i full gång, det är ofta opraktiskt att utveckla och testa ett vaccin inom en användbar tidsram.

Karantän och isolering kan effektivt minska överföringshastigheten och, följaktligen, det effektiva reproduktionsnumret. Att isolera smittsamma patienter minskar spridningshastigheten, medan karantän för friska individer minskar den effektiva mottagliga befolkningen.

Båda åtgärderna bidrar till att minska det effektiva reproduktionstalet, vilket är anledningen till att social distansering och självisolering är så viktiga strategier för att tackla covid-19.

Flockimmunitet

En idé som den brittiska regeringen verkade leka med under de första dagarna av deras svar var den om flockimmunitet – konceptet att en stor population av immunindivider kan bromsa eller till och med stoppa spridningen av sjukdomen. Förvånande, denna samhällseffekt kräver inte att alla är immuna mot sjukdomen för att hela befolkningen ska skyddas. Genom att minska det effektiva reproduktionstalet till mindre än ett – se till att smittade personer kontaktar så få känsliga personer som möjligt – kan smittkedjan brytas och sjukdomen stoppas i dess spår. Avgörande, flockimmunitet innebär att personer som är immunkomprometterade, de äldre, gravida kvinnor och andra högriskgrupper kan dra nytta av det skydd som andra människors immunitet ger.

Den del av befolkningen som behöver vara immun för att skydda resten varierar beroende på hur smittsam sjukdomen är. Grundreproduktionsnumret, R₀, är nyckeln till hur stor andelen är. Ju högre grundreproduktionsnummer, ju högre immunförsvarsandelen av befolkningen behöver vara. Till exempel, för en sjukdom med ett grundreproduktionstal på 4, S-I-R-modellen förutspår att tre fjärdedelar av befolkningen måste vara immuna. Om R0 är så låg som 1,5 behöver potentiellt bara en tredjedel av befolkningen skaffa sig immunitet för att skydda de återstående två tredjedelarna.

Om ett vaccin finns tillgängligt, då kan flockimmunitet uppnås genom att vaccinera en tillräckligt hög andel av befolkningen (som sagt, vi har bara någonsin lyckats utplåna en mänsklig sjukdom – koppor – genom vaccination).

När ett vaccin inte är tillgängligt, det enda sättet för människor att skaffa sig immunitet är att bli infekterade med sjukdomen och återhämta sig. Med tanke på antalet dödsfall av covid-19, detta skulle medföra många tusen människors död. Inte överraskande, den brittiska regeringen backade på deras föreslagna politik.

Nästa generations modellering

I verkligheten, den enkla S-I-R-modellen är inte tillräckligt komplex för att fånga finesserna i många utbrott av infektionssjukdomar. Men för sjukdomar som inte ger sina offer immunitet, en enkel anpassning av S-I-R-modellen kan hjälpa.

Som är typiskt för vissa sexuellt överförbara sjukdomar, gonorré har ingen borttagen population alls. När man väl återhämtat sig från gonorré, patienter kan bli smittade igen. Eftersom ingen dör av symptomen på gonorré, ingen blir någonsin "borttagen" från befolkningen. Sådana modeller är vanligtvis märkta S-I-S, efterlikna progressionsmönstret för en individ från mottaglig till infektion och tillbaka till mottaglig igen. Eftersom befolkningen av mottagliga människor aldrig är utmattad, men förnyas när människor återhämtar sig, S-I-S-modellen förutspår att sjukdomar kan bli självförsörjande eller "endemiska".

Huruvida en enda infektion med SARS-CoV-2 (viruset som orsakar covid-19) räckte för att ge immunitet var en av de största bekymmerna för forskarna i början av utbrottet. Kan det nya viruset cirkulera på obestämd tid i befolkningen? Även om det har förekommit flera rapporter om att människor smittats av viruset för andra gången, det finns också goda bevis som tyder på att återhämtade covid-19-patienter blir immuna.

Ett annat problem med det nya coronaviruset är att det vanligtvis finns en asymptomatisk period i början av sjukdomen. Under denna tid, människor kan härbärgera viruset och infektera andra utan att själva visa symtom. Det betyder att vi måste lägga till ytterligare en klass av människor till modellen. Det här är människor som, en gång smittad, är kapabla att överföra sjukdomen utan att visa några symtom – den så kallade "bärarklassen". Detta ändrar S-I-R-modellen till en S-C-I-R-modell. Bärarklassen är avgörande för att representera sjukdomar som HIV/AIDS, som har långa infektionsperioder utan uppenbara symtom.

De toppmoderna modellerna som för närvarande används för att informera regeringens politik är ännu mer komplicerade. Tyvärr, inte ens de mest detaljerade och realistiska matematiska modellerna är kapabla att förutsäga när den nuvarande pandemin kommer att slås.

Men det är säkert att när vi så småningom tar kontrollen över situationen, matematiker och deras modeller kommer att ha spelat en betydande roll i hur dramat utspelade sig.

Den här artikeln är återpublicerad från The Conversation under en Creative Commons-licens. Läs originalartikeln.