Vissa människor gillar att ta slumpmässiga promenader genom skogen, medan andra kanske promenerar genom sitt eget kvarter. I matematikens värld, en slumpmässig promenad är faktiskt mer slumpmässig än så här; det skulle motsvara att vända ett mynt för att bestämma vilken riktning du skulle ta med varje steg.

Nyligen, Caltechs Omer Tamuz, professor i ekonomi och matematik, tillsammans med två av hans doktorander, Joshua Frisch och Pooya Vahidi Ferdowsi, och deras kollega Yair Hartman från Ben-Gurion University i Israel, löst ett långvarigt matematikproblem relaterat till slumpmässiga promenader. Lösningen publicerades i somras i tidskriften Annals of Mathematics .

"Jag minns att jag pratade med eleverna om en insikt vi hade angående detta problem, och sedan nästa morgon fick jag reda på att de hade stannat uppe till långt in på natten och kom på det, säger Tamuz.

"Vi hade mycket tur eftersom det här projektet faktiskt gav oss den lösning vi ville ha. Det är väldigt ovanligt i ett matteprojekt, " säger Frisch. "Något liknande 90 procent av projekten du arbetar med, du kommer inte att kunna lösa. Med cirka 10 procent, du börjar göra framsteg och arbetar mycket hårdare. Och även då, du löser inte alltid de. En del av att vara matematiker är att vänja sig vid misslyckanden. Ibland jobbar man med något i månader och måste ge upp och gå vidare till nästa projekt."

Matematiker föreställer sig slumpmässiga vandringar i utrymmen med olika dimensioner och geometrier. I den nya studien, Caltech-teamet föreställde sig slumpmässiga promenader på "grupper, " som är föremål som kan ha mycket olika geometrier. För vissa grupper, de slumpmässiga promenaderna kommer så småningom, efter att mycket tid har förflutit, konvergera till en specifik riktning. I de fallen, promenaderna sägs vara vägberoende, vilket gör att något som hände i början påverkar utgången. Eller, med andra ord, något som händer tidigt på promenaden påverkar var det hamnar. Men för andra grupper, riktningen för promenaderna konvergerar inte, och deras historia påverkar inte deras framtid.

"För en slumpmässig process, är det sant att på lång sikt, allt sköljs ut och vad som än händer kommer att hända oavsett vad som hände tidigare? Eller finns det ett minne av vad som hände innan?" frågar Tamuz. "Säg att du har två samhällen, och en av dem gör vissa tekniska framsteg medan den andra drabbas av en naturkatastrof. Kommer dessa skillnader att bestå för evigt, eller kommer de så småningom att försvinna och vi glömmer det när det väl fanns en fördel? I slumpmässiga promenader, det har varit känt länge att det finns grupper som har dessa minnen medan i andra grupper raderas minnena. Men det var inte riktigt klart vilka grupper som har den här egenskapen och vilka som inte har det – dvs. vad gör att en grupp har minne? Det här är vad vi kom på."

Lösningen, säger Tamuz, hade att göra med att hitta ett "geometriskt sätt att beskriva en algebraisk egenskap hos grupperna". För att förstå kärnan i detta, tänk på en cirkel. Du kan beskriva cirkeln geometriskt (som mängden av alla punkter på ett givet avstånd från en punkt), eller så kan du beskriva det med en algebraisk ekvation. När det gäller problemet med slumpmässig promenad, matematikerna hittade ett nytt sätt att tänka kring sambanden mellan de geometriska och algebraiska egenskaperna hos de grupper de studerade.

"Vi blev faktiskt chockade över hur lätt det var att lösa problemet när vi väl kom på det här sambandet, säger Ferdowsi, som förklarar att även om lösningen "bara flödade ut, "teamet drabbades av en "betydlig" försening när han var i sitt hemland Iran och inte kunde få visum för att komma tillbaka till Caltech. "Till slut, vi var glada över att ha löst ett långvarigt öppet problem i matematik."

Frisch säger att den stora insikten de hade för detta matematiska problem faktiskt växte från ett tidigare problem som var mycket svårare. "Jag hade slagit mitt huvud i några månader på det och kunde inte göra några framsteg, " han säger, "Men då hade vi den här eureka-idén som gällde inte bara det vi arbetade med då utan också det här nyare problemet. Det känns riktigt bra när man inser, "Herregud, det här kommer faktiskt att fungera."

De Annals of Mathematics studie , betitlad, "Choquet-Deny-grupper och den oändliga konjugationens klassegenskap, " fick stöd av National Science Foundation och Simons Foundation.