Fraktaler - mönster som upprepar sig i mindre skalor - kan ses ofta i naturen, som i snöflingor. Kredit:Unsplash.
Matematik är synlig överallt i naturen, även där vi inte förväntar oss det. Det kan hjälpa till att förklara hur galaxer går i spiral, ett snäcka kurvor, mönster replikerar, och floder böjer sig.
Även subjektiva känslor, som det vi tycker är vackert, kan ha matematiska förklaringar.
"Matte ses inte bara som vackert - skönhet är också matematisk, " säger Dr Thomas Britz, en föreläsare vid UNSW Science's School of Mathematics &Statistics. "De två är sammanflätade."
Dr Britz arbetar med kombinatorik, ett område fokuserat på komplex räkning och pussellösning. Medan kombinatorik ligger inom ren matematik, Dr Britz har alltid dragits till de filosofiska frågorna om matematik.
Han finner också skönhet i den matematiska processen.
"Från en personlig synvinkel, matte är bara riktigt kul att göra. Jag har älskat det ända sedan jag var liten.
"Ibland, skönheten och njutningen av matematik ligger i begreppen, eller i resultaten, eller i förklaringarna. Andra tider, det är tankeprocesserna som får ditt sinne att vända sig på ett trevligt sätt, känslorna du får, eller bara arbeta i flödet – som att gå vilse i en bra bok."
Här, Dr. Britz delar med sig av några av sina favoritkopplingar mellan matematik och skönhet.
1. Symmetri – men med en touch av överraskning
Symmetri finns överallt du tittar. Kredit:Unsplash
Under 2018, Dr. Britz höll ett TEDx-föredrag om känslornas matematik, där han använde nyare studier om matematik och känslor för att beröra hur matematik kan hjälpa till att förklara känslor, som skönhet.
"Våra hjärnor belönar oss när vi känner igen mönster, om detta är att se symmetri, organisera delar av en helhet, eller pussellösning, " han säger.
"När vi ser något som avviker från ett mönster - när det finns en touch av det oväntade - belönar våra hjärnor oss ännu en gång. Vi känner glädje och spänning."
Till exempel, människor uppfattar symmetriska ansikten som vackra. Dock, en funktion som bryter upp symmetrin i en liten, intressant eller överraskande sätt – som en skönhetsplats – bidrar till skönheten.
"Samma idé kan ses i musik, " säger Dr Britz. "Mönstrade och ordnade ljud med en touch av det oväntade kan ha lagt till personlighet, charm och djup."
Många matematiska begrepp uppvisar en liknande harmoni mellan mönster och överraskning, elegans och kaos, sanning och mystik.
"Sammanvävningen av matematik och skönhet är i sig vacker för mig, säger Dr Britz.
Varje blad av en ormbunke skjuter av mindre versioner av sig själva. Ibland, bladmönstret kan även ses i bladen. Kredit:Shutterstock
2. Fraktaler:oändliga och spöklika
Fraktaler är självrefererande mönster som upprepar sig, till en viss grad, i mindre skalor. Ju närmare du tittar, desto fler upprepningar kommer du att se – som bladen och bladen på en ormbunke.
"Dessa återkommande mönster finns överallt i naturen, " säger Dr Britz. "I snöflingor, flodnät, blommor, träd, blixten slår ned - även i våra blodkärl."
Fraktaler i naturen kan ofta bara replikera med flera lager, men teoretiska fraktaler kan vara oändliga. Många datorgenererade simuleringar har skapats som modeller av oändliga fraktaler.
"Du kan fortsätta fokusera på en fraktal, men du kommer aldrig till slutet, säger Dr Britz.
"Fraktaler är oändligt djupa. De är också oändligt spöklika.
"Du kanske har en hel sida full av fraktaler, men den totala ytan som du har ritat är fortfarande noll, eftersom det bara är ett gäng oändliga linjer."
Mandelbrot Set är utan tvekan den mest kända datorgenererade fraktalen. Att zooma in kommer att avslöja exakt samma bild i mindre skala – en svindlande och hypnotisk oändlig loop. Kredit:Shutterstock
3. Pi:en okänd sanning
Pi (eller 'π') är ett tal som man ofta först lärde sig i gymnasiegeometri. I enklaste termer, det är en siffra något mer än 3.
Pi används mest när man har att göra med cirklar, som att beräkna omkretsen av en cirkel med endast dess diameter. Regeln är att för vilken krets som helst, avståndet runt kanten är ungefär 3,14 gånger avståndet över mitten av cirkeln.
Men Pi är mycket mer än så här.
"När du tittar på andra aspekter av naturen, du kommer plötsligt att hitta Pi överallt, " säger Dr Britz. "Det är inte bara kopplat till varje cirkel, men Pi dyker ibland upp i formler som inte har något att göra med cirklar, som i sannolikhet och kalkyl."
Trots att det är det mest kända numret (Internationella Pi-dagen hålls årligen den 14 mars, 3.14 i amerikansk dejting), det finns mycket mystik runt det.
"Vi vet mycket om Pi, men vi vet verkligen ingenting om Pi, säger Dr Britz.
"Det finns en skönhet med det - en vacker dikotomi eller spänning."
Pi är bunden till havet och ljudvågor genom Fourier-serien, en formel som används i rytmer och cykler. Kredit:Unsplash
Pi är oändlig och, per definition, okänd. Inget mönster har ännu identifierats i dess decimaler. Det är underförstått att alla kombinationer av siffror, som ditt telefonnummer eller födelsedag, kommer att dyka upp i Pi någonstans (du kan söka efter detta via ett onlineuppslagsverktyg med de första 200 miljoner siffrorna).
Vi känner för närvarande till 50 biljoner siffror av Pi, ett rekord som slogs tidigare i år. Men, eftersom vi inte kan beräkna det exakta värdet av Pi, vi kan aldrig helt beräkna omkretsen eller arean av en cirkel – även om vi kan komma nära.
"Vad händer här?" säger Dr Britz. "Vad är det med detta konstiga nummer som på något sätt binder samman alla världens kretsar?
"Det finns en underliggande sanning i Pi, men vi förstår det inte. Denna mystik gör det hela vackrare."
4. Ett gyllene och urgammalt snitt
Det gyllene snittet (eller 'ϕ') är kanske det mest populära matematiska teoremet för skönhet. Det anses vara det mest estetiskt tilltalande sättet att proportionera ett föremål.
Förhållandet kan förkortas, ungefär, till 1,618. När den presenteras geometriskt, förhållandet skapar den gyllene rektangeln eller den gyllene spiralen.
"Genom historien, förhållandet behandlades som ett riktmärke för den ideala formen, oavsett om det är inom arkitektur, konstverk, eller människokroppen, " säger Dr. Britz. "Det kallades den "gudomliga proportionen."
Den gyllene spiralen används ofta i fotografering för att hjälpa fotografer att rama in bilden på ett estetiskt tilltalande sätt. Kredit:Shutterstock
"Många kända konstverk, inklusive de av Leonardo da Vinci, baserades på detta förhållande."
Den gyllene spiralen används ofta idag, speciellt inom konsten, design och fotografi. Mitten av spiralen kan hjälpa konstnärer att rama in bildens fokuspunkter på estetiskt tilltalande sätt.
5. En paradox närmare magi
Mattens okända natur kan få det att verka närmare magi.
En berömd geometrisk teorem som kallas Banach-Tarski-paradoxen säger att om du har en boll i 3D-rymden och delar upp den i några specifika bitar, det finns ett sätt att återmontera delarna så att du skapar två bollar.
"Det här är redan intressant, men det blir ännu konstigare, säger Dr Britz.
"När de två nya bollarna skapas, de kommer båda att ha samma storlek som den första bollen."
Matematiskt sett, denna sats fungerar – det är möjligt att återmontera bitarna på ett sätt som fördubblar kulorna.
Att duplicera bollar är omöjligt - eller hur? Kredit:Unsplash
"Du kan inte göra det här i verkligheten, " säger Dr Britz. "Men du kan göra det matematiskt.
"Det är typ av magi. Det är magi."
fraktaler, Banach-Tarski-paradoxen och Pi är bara ytan på de matematiska begrepp han finner skönhet i.
"Att uppleva många vackra delar av matematiken, du behöver mycket bakgrundskunskap, " säger Dr Britz. "Du behöver mycket grundläggande – och ofta väldigt tråkig – träning. Det är lite som att göra en miljon armhävningar innan man spelar en sport.
"Men det är värt det. Jag hoppas att fler får till det roliga med matematik. Det finns så mycket mer skönhet att upptäcka."
