Forskning publicerad i SIAM Journal on Applied Mathematics beskriver en ny matematisk modell för att studera inflytande över sociala nätverk. Med hjälp av verktyg från topologiområdet, Robert Ghrist och Ph.D. akademiker Jakob Hansen utvecklade ett ramverk för att spåra hur åsikter förändras över tid i ett brett spektrum av scenarier, inklusive sådana där individer kan använda vilseledande beteenden och propagandaagenter kan driva en grupps konsensus.

Med framväxten av sociala medieplattformar, det har funnits ett ökat intresse för att utveckla olika typer av modeller för att studera beteende över nätverk; i matematik, det betyder att studera nätverk, grupper av individer, kända som noder, och deras kopplingar till varandra, känd som kanter. Den nuvarande utmaningen, säger Ghrist, utvecklar matematiska ramverk som kan innehålla ett bredare utbud av funktioner för att hjälpa till att modellera mer verkliga typer av scenarier.

"Det finns många människor som lägger ut modeller som har en eller två nya funktioner; en tillåter flera åsikter, en annan tillåter människor att selektivt ljuga för sina grannar, och en annan har introduktionen av en propagandist, " säger han. "Vad vi ville göra var att ta fram ett ramverk som kan inkludera alla dessa olika aspekter, men ändå kunna bevisa rigorösa satser om hur modellen beter sig."

Att göra detta, Ghrist och Hansen använde topologiska verktyg som kallas kärvar, tidigare använt i sin grupp. Skivor är algebraiska datastrukturer, eller samlingar av vektorrum, som är kopplade till ett nätverk och länkar information till enskilda noder eller kanter. Med hjälp av ett transportnätverk som ett illustrativt exempel, där tågstationer är noder och spåren är kanterna, skivor används för att bära information om nätverket, till exempel antalet passagerare eller antalet avgångar i tid, inte bara för specifika stationer utan även på förbindelserna mellan stationer.

"Dessa vektorrum kan ha olika egenskaper och dimensioner, och de kan koda olika mängder och typer av information, " säger Ghrist. "Så skivan består av samlingar av vektorer över toppen av varje nod och varje kant med matriser som förbinder dem alla. Kollektivt, det här är en stor datastruktur som flyter över ditt nätverk."

En av de grundläggande matematiska begreppen som möjliggjorde detta arbete var inkorporeringen av Laplacian-operatorer och diffusionsdynamik i modellen. Laplacians användes i en klassisk studie av opinionsdynamik, som fann att, för personer med en skalad åsikt om ett specifikt ämne, såsom deras åsikt om presidenten från 1 till 10, interaktion med sina grannar i nätverket skulle flytta deras åsikt mot ett lokalt genomsnitt.

"Om det vore en korrekt modell, vad det skulle betyda är att ju mer vi pratar med varandra via sociala medier desto mer kommer vi alla att tro på samma sak, " säger Ghrist. "Det fungerade inte så bra och leder oss till problemet med att förklara klyvning eller polarisering. Så vad vi gör i vår tidning är att bygga detta nya ramverk som kan rymma alla typer av intressanta vändningar på den klassiska situationen."

Genom att införliva Laplacians i sina "diskursrakningar, "Forskarna kunde skapa en åsiktsdynamikmodell som var otroligt flexibel och kunde inkorporera en mängd olika scenarier, parametrar, och funktioner. Detta inkluderar möjligheten att ha agenter som kan ljuga om sina känslor i ett specifikt ämne eller berätta olika åsikter för andra beroende på hur de är kopplade, allt inom en rigorös och testbar matematisk ram.

"Den viktigaste matematiska innovationen här är en Laplacian för kärvar som gör att systemet kan utvecklas på ett sådant sätt att du kan bevisa resultat om allmän konsensus. Det vi ser när vi kör vissa exempel är att du kan ha system där människor börjar vara grannar och mycket oense, och systemet utvecklas naturligtvis mot en offentlig överenskommelse medan människor kan behålla sina privata åsikter, säger Ghrist.

Ett annat intressant fynd, Ghrist säger, Jag visar, med hjälp av "samhomologi, " man kan karakterisera när denna modell är både observerbar och kontrollerbar, vilket innebär att man kan få ett socialt nätverk att utvecklas till en viss åsikt genom att utse specifika agenter som input, de som sänder propaganda, och andra som utgångar, de som observeras för att spåra åsiktsförändringar. "Det finns förhållanden under vilka du kan utse en uppsättning målindivider och kontrollera deras åsikter genom att sålla nätverket med propaganda och låta systemet utvecklas, säger Ghrist, tillägger att, medan fynden handlar om, det finns ett gap mellan att använda dessa modeller för att studera nätverk och att kontrollera hur idéer sprids i den verkliga världen.

Nästa steg för Ghrist och hans grupp är att hitta sätt att arbeta med mer komplexa skivor, till exempel de med logiska påståenden istället för numeriska värden. "De matematiska utmaningarna i samband med detta är betydande, och min grupp och jag har arbetat mycket hårt på att försöka lyfta all matematik för att införliva dessa mer komplexa datatyper, " han säger.

Ghrist hoppas också att forskare från en mängd andra områden, från ekonomi till neurovetenskap, kommer att finna dessa verktyg användbara på grund av deras anpassningsförmåga och flexibilitet. "Sheaf-teorin utvecklades på 1950-talet, och ändå är det en av dessa saker som aldrig gick över till tillämpad matematik delvis eftersom det är väldigt abstrakt, " säger han. "Jag har arbetat i ungefär 15 år med att anpassa idéer från kärvar och kärveteori till ett sammanhang som människor kan använda utanför matematiken, och jag hoppas att denna tidning verkligen driver saker i den riktningen."