Om du vet två punkter som faller på en viss exponentiell kurva, kan du definiera kurvan genom att lösa den allmänna exponentiella funktionen med hjälp av dessa punkter. I praktiken betyder detta att man ersätter punkterna för y och x i ekvationen y = ab ^{x. Förfarandet är lättare om x-värdet för en av punkterna är 0, vilket betyder att punkten är på y-axeln. Om ingen punkt har ett noll x-värde är processen för att lösa för x och y lite mer komplicerad.}

Varför exponentiella funktioner är viktiga

Många viktiga system följer exponentiella mönster för tillväxt och förfall. Till exempel ökar antalet bakterier i en koloni vanligen exponentiellt, och omgivande strålning i atmosfären efter en kärnkraftsfall minskar vanligtvis exponentiellt. Genom att ta data och rita en kurva, är forskarna bättre förutsägda att göra förutsägelser.

Från ett par punkter till en graf

En punkt i en tvådimensionell graf kan representeras av två siffror, som vanligtvis skrivs i formuläret (x, y), där x definierar det horisontella avståndet från ursprunget och y representerar det vertikala avståndet. Till exempel är punkten (2, 3) två enheter till höger om y-axeln och tre enheter ovanför x-axeln. Å andra sidan är punkten (-2, -3) två enheter till vänster om y-axeln. och tre enheter under x-axeln.

Om du har två punkter, (x _{1, y 1) och (x 2, y 2) kan definiera exponentiell funktion som passerar genom dessa punkter genom att ersätta dem i ekvationen y = ab ^{x och lösa för a och b. I allmänhet måste du lösa detta par ekvationer:}}

y _{1 = ab ^{x1 och y 2 = ab x2,. denna form, matematiken ser lite komplicerad ut, men det ser mindre ut efter att du har gjort några exempel.}}

En punkt på X-axeln

Om en av x-värdena - - säg x _{1 - är 0, operationen blir väldigt enkel. Till exempel ger lösningen av ekvationen för punkterna (0, 2) och (2, 4):}

2 = ab ^{0 och 4 = ab 2. Eftersom vi vet att b 0 = 1 blir den första ekvationen 2 = a. Att ersätta en i den andra ekvationen ger 4 = 2b 2, vilket vi förenklar till b 2 = 2 eller b = kvadratroten av 2, vilket motsvarar ungefär 1,41. Den definierande funktionen är då y = 2 (1.41) x.}

Varken punkt på X-axeln

Om inget x-värde är noll är lösningen av paret likvärdigt något mer besvärlig. Henochmath går oss igenom ett enkelt exempel för att klargöra denna procedur. I sitt exempel valde han paret av punkter (2, 3) och (4, 27). Detta ger följande par ekvationer:

27 = ab ⁴

3 = ab ²

Om du delar upp den första ekvationen med den andra, du får

9 = b ²

så b = 3. Det är möjligt att b också är lika med -3, men i det här fallet antar att det är positivt.

Du kan ersätta detta värde för b i antingen ekvation för att få en. Det är lättare att använda den andra ekvationen, så:

3 = a (3) ^{2 som kan förenklas till 3 = a9, a = 3/9 eller 1/3.}

Ekvationen som passerar genom dessa punkter kan skrivas som y = 1/3 (3) ^x.

Ett exempel från den verkliga världen

Sedan år 1910 har den mänskliga befolkningstillväxten varit exponentiell och genom att planera en tillväxtkurva, är forskare bättre i att förutsäga och planera för framtiden. År 1910 var världsbefolkningen 1,75 miljarder, och år 2010 var det 6,87 miljarder. Med utgångspunkt från 1910, ger detta paret poäng (0, 1.75) och (100, 6.87). Eftersom x-värdet på den första punkten är noll, kan vi enkelt hitta en.

1.75 = ab ^{0 eller a = 1.75. Plugging detta värde tillsammans med de andra punktens inmatning i den allmänna exponentiella ekvationen ger 6,87 = 1,75b 100, vilket ger värdet av b som den hundrade roten av 6,87 /1,75 eller 3,93. Så ekvationen blir y = 1,75 (hundradel av 3.93) x. Även om det tar mer än en glidregel att göra det, kan forskare använda denna ekvation för att projicera framtida befolkningsnummer för att hjälpa politikerna i nuet att skapa lämpliga policies.}