En tangentlinje vidrör en jämn kurva vid exakt en punkt och delar samma momentana lutning som kurvan på den platsen. Att bestämma dess ekvation är en rutinmässig kalkyluppgift som förlitar sig på funktionens derivata.
Beräkna f ′(x) med hjälp av standarddifferentieringsregler. För potensfunktioner, f(x)=xⁿ, ger potensregeln f ′(x)=nxⁿ⁻¹. Till exempel, för f(x)=2x²+4x+10, är derivatan f ′(x)=4x+4=4(x+1).
När funktionen är en produkt, tillämpa produktregeln:(f₁f₂)′ =f₁f₂′ + f₁′f₂. Till exempel, f(x)=x²(x²+2x) ger f ′(x)=x²(2x+2)+2x(x²+2x)=4x³+6x².
Tangens lutning är lika med derivatan utvärderad vid det valda x-värdet. För f(x)=2x²+4x+10 vid x=5 är lutningen m =f ′(5) =4(5+1) =24.
Hitta först tangenspunkten genom att koppla in x-värdet i den ursprungliga funktionen:f(5)=2·5²+4·5+10=80. Därmed är poängen (5,80). Att använda punktlutningsformen y−y₀=m(x−x₀) ger
y−80 =24(x−5). Omarrangering till lutningsskärningsform ger y =24x − 1915.
Det slutliga uttrycket är ekvationen för tangentlinjen till f(x) vid x=5.
