Av Chris Deziel, uppdaterad 30 augusti 2022
Dutko/iStock/GettyImages
Logaritmer kan förvandla ett annars okomplicerat algebraiskt problem till ett knotigt sådant. De ses ofta som tråkiga, svåra att manipulera och lite mystiska. Den goda nyheten är att det är enkelt att ta bort dem från en ekvation när du kommer ihåg att en logaritm helt enkelt är inversen av en exponent.
Medan basen för en logaritm kan vara vilket positivt tal som helst, är de vanligaste baserna inom vetenskap 10 och Eulers tal e . I matematik betecknar "log" en bas-10-logaritm och "ln" betecknar en naturlig logaritm med basen e .
För att eliminera logaritmer, höj båda sidor av ekvationen till samma potens som logaritmens bas. Om ekvationen innehåller flera logaritmer, flytta dem alla åt ena sidan och förenkla först.
En logaritm svarar på frågan "till vilken makt måste basen höjas för att producera ett givet tal?" Med andra ord är logaritmen för ett tal den exponent som krävs för att få det talet från basen. Till exempel \(\log_8 2 =6\) betyder att 8 2 =64 . I den vanliga notationen \(\log x =100\) , förstås basen vara 10, så frågan blir "10 upphöjd till vilken styrka är lika med 100?" Svaret är 2, eftersom 10 2 =100 .
Eftersom en logaritm är den inversa operationen av exponentiering, kan ekvationer som innehåller logaritmer ofta "utvecklas" genom att applicera lämplig exponent på båda sidor. Detta fungerar så länge som alla inblandade logaritmer delar samma bas.
Enkel logaritm
\(\log x =y\)
Höj båda sidor till potensen 10:\(10^{\log x} =10^y\) . Eftersom 10^{\log x} =x , får vi \(x =10^y\) .
Alla termer är logaritmer
\(\log (x^2 - 1) =\log (x + 1)\)
Exponentiera båda sidor med bas 10:\(x^2 - 1 =x + 1\) . Förenkla för att få \(x^2 - x - 2 =0\) , vars lösningar är \(x =-2\) eller \(x =1\) .
Blandade logaritmer och algebraiska termer
Följ dessa steg:
1. Börja med ekvationen, till exempel:\(\log x =\log (x - 2) + 3\) .
2. Flytta alla logaritmer åt ena sidan:\(\log x - \log (x - 2) =3\) .
3. Tillämpa logaritmlagarna:\(\log \left(\frac{x}{x-2}\right) =3\) .
4. Exponentiera båda sidor med bas 10:\(\frac{x}{x-2} =10^3\) .
5. Lös för x :\(x =1000x - 2000 \Rightarrow -999x =-2000 \Rightarrow x =\frac{2000}{999} \approx 2.002\) .
Genom att systematiskt tillämpa dessa regler kan du eliminera logaritmer från nästan alla algebraiska ekvationer.
