Jacob Ammentorp Lund/iStock/GettyImages

Medan begreppet egenvärden kan verka abstrakt, det är ett oumbärligt verktyg för matematiker, fysiker och ingenjörer som hanterar komplexa system. Genom att identifiera hur vissa transformationer skalar vektorer, avslöjar egenvärden inneboende egenskaper hos matriser och operatorer.

Vad är en egenfunktion?

Föreställ dig en funktion – säg y =x² + 6x eller y = — som, efter att ha tillämpat en viss operation, helt enkelt blir den ursprungliga funktionen multiplicerad med en konstant. Den funktionen är en egenfunktion , och konstanten är dess egenvärde .

• "Eigen" kommer från tyska, vilket betyder "samma" eller "identisk."

För att effektivt beräkna egenvärden är ett gediget grepp om matrisalgebra viktigt. Dessa tekniker stödjer många vetenskapliga tillämpningar, som att bestämma bindningsordningen i molekyler som NO₂, där elektroniska vågfunktioner beter sig som egenfunktioner.

Förstå matriser

En matris är en rektangulär matris av tal ordnade i rader och kolumner. Det beskrivs vanligtvis av dess dimensioner, t.ex. en 2 x 3 matris:

\(\begin{bmatrix}
3 &0 &4
1 &3 &5
\end{bmatrix}\)

Endast matriser med identiska dimensioner kan adderas eller multipliceras elementvis. En matris kan också verka på en vektor – en 1-by-n eller n -by-1 array—producerar en annan vektor.

Egenvärdeekvationen

För en kvadratisk matris A (storlek n ×n ), en vektor som inte är noll v (storlek n ×1) och en skalär λ , förhållandet\(\mathbf{A}\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v}\) gäller när λ är ett egenvärde för A . Här, A är en linjär transformation som, när den tillämpas på v , skalar den med λ .

Varför egenvärden spelar roll

Inom kvantmekaniken beskriver Hamiltons operator \(\hat{H}\) ett systems kinetiska och potentiella energi:\(\hat{H} =-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2 + \hat{V}(x,y,z)\)

Schrödinger-ekvationen\(\hat{H}\psi(x,y,z) =E\psi(x,y,z)\)är ett egenvärdesproblem där energinivåerna E är egenvärdena. Dessa värden bestämmer observerbara egenskaper hos atomer och molekyler.

Hitta egenvärden steg för steg

Börja från \(\mathbf{A}\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v}\), ordna om till:\(\mathbf{A}\mathbf{v} - \lambda\mathbf{v} =0\)som blir\(\bigl(\mathbf{A}) \lambda\mathbf{I}\bigr)\mathbf{v} =0\).För en vektor som inte är noll v för att existera måste matrisen \(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}\) vara singular, vilket betyder att dess determinant är lika med noll:\(|\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}| =0\). Lösningen av denna karakteristiska ekvation ger egenvärdena. Även om det kan vara mödosamt att lösa för hand för stora matriser, hanterar många beräkningsverktyg algebra effektivt.

Till exempel, när man multiplicerar två 2x2-matriser A och B , beräknas varje element i produkten genom att ta punktprodukten för motsvarande rad i A med kolumnen B . Om A första raden är [13] och B s första kolumn är [25], det resulterande elementet är (1×2)+(3×5)=15.

Beräkna egenvärden online

Vår webbaserade matrisräknare låter dig hitta egenvärden – och mer – för matriser av praktiskt taget alla storlekar. Den hanterar symboliska och numeriska poster och effektiviserar ditt arbetsflöde oavsett om du är i ett klassrum eller ett forskningslabb.

Experimentera gärna med olika matriser för att se hur egenvärden avslöjar deras underliggande struktur.