Matematiker från RUDN University har studerat egenskaperna hos kompositionsoperatorer i utrymmen med blandade Lebesgue-normer. Deras arbete kommer att hjälpa till att beskriva diffusionen av vätskor i material med sprickor och i porösa material. Sådana utrymmen är också användbara för att erhålla uppskattningar för lösningar på Navier-Stokes ekvation. Artikeln publicerades i Matematiska anteckningar .

Den moderna vetenskapen om partiella differentialekvationer har sin egen teori:funktionsanalysens språk. Studier av funktionsrum där lösningar till ekvationer söks började på 1800-talet och har fortsatt till nutid. I början, matematiker lärde sig att tillämpa Fourierteori på lösningar för de enklaste linjära partiella differentialekvationerna, studerade sedan Banach och Hilbert utrymmen, såväl som utrymmen med generaliserade funktioner, som i huvudsak är kvantmekanikens språk.

Runt mitten av 1900-talet, Sobolev utrymmen upptäcktes; dessa intar nu en av de centrala positionerna i teorin om partiella differentialekvationer. Under de kommande 50 åren, de hjälpte matematiker att hitta många lösningar på tillämpade problem som inte kan hittas i vanliga funktionella rum.

Närmare början av 2000-talet, det blev nödvändigt att hitta nya metoder för att studera icke-linjära partiella differentialekvationer, så beräkningsmatematik och teorin om integrerbara system utvecklades. Dock, metoder från dessa områden visade sig vara för snävt fokuserade, och behovet av att utveckla språket finns fortfarande kvar.

Lebesgue-utrymmen med blandade normer är ibland mer universella och flexibla objekt. Dessa utrymmen bestäms enligt följande:I rymden av funktioner i flera variabler, definiera normen genom att iterera Lebesgue-normen. De uppstod från början som en av generaliseringarna av Sobolev-utrymmen och har redan väckt stort intresse från teoretiker från flera länder i Europa, såväl som Kina, Kanada och Ryssland.

Nikita Evseev och Alexander Menovshchikov från Mathematical Institute of RUDN University arbetar med en teori om operatörer för sådana utrymmen, som tillåter deras användning i tillämpade problem formulerade på språket för partiella differentialekvationer. De gav en hel del nya resultat som beskrev egenskaperna hos operatorer på sådana utrymmen:kriterier för begränsning av operatorer, egenskaper hos integraloperatorer, multiplikationsoperatorer, sammansättningsoperatörer, och många andra. De fick också några hjälpresultat användbara för vidareutvecklingen av detta område.

"Våra metoder och resultat, vi tror, kan appliceras på evolutionära problem och differentiella problem på icke-cylindriska regioner. Till exempel, i (matematisk) biologi, där ytan eller området som studeras förändras med tiden, eller inom hydrodynamik, för problem med en variabel gräns, säger Evseev.

Forskning inom detta område är användbar för att studera Navier-Stokes ekvationer, ett ekvationssystem som beskriver aero- och hydrodynamik. Lebesgue-utrymmen med blandade normer gör det möjligt att utvärdera lösningar, som, i tur och ordning, gör det möjligt att förutsäga en frånvaro av turbulens, till exempel.

Resultaten kommer också att hjälpa till att studera de tillämpade problemen inom matematisk fysik som uppstår vid studier av porösa material och material med sprickor. Till exempel, det kommer att vara möjligt att teoretiskt förutsäga mönstret för diffusion och värmeöverföring i silikageler, porösa glas, olika svampar, och skum, samt i vissa byggnadsmaterial.