I matematik, ingen forskare arbetar i verklig isolering. Även de som arbetar ensamma använder sina kollegors och föregångares teorem och metoder för att utveckla nya idéer.

Men när en känd teknik är för svår att använda i praktiken, matematiker kan försumma viktiga – och i övrigt lösbara – problem.

Nyligen, Jag gick med flera matematiker på ett projekt för att göra en sådan teknik lättare att använda. Vi tog fram ett datorpaket för att lösa ett problem som heter "S-enhetsekvationen, " med hopp om att talteoretiker av alla slag lättare kan attackera en mängd olika olösta problem i matematik.

Diofantiska ekvationer

I sin text "Arithmetica, " Matematikern Diophantus tittade på algebraiska ekvationer vars lösningar måste vara heltal. Som det händer, dessa problem har mycket att göra med både talteori och geometri, och matematiker har studerat dem sedan dess.

Varför lägga till denna begränsning av enbart helnummerlösningar? Ibland, skälen är praktiska; det är inte vettigt att föda upp 13,7 får eller köpa -1,66 bilar. Dessutom, matematiker dras till dessa problem, nu kallade diofantiska ekvationer. Lockelsen kommer från deras överraskande svårighet, och deras förmåga att avslöja grundläggande sanningar om matematikens natur.

Faktiskt, matematiker är ofta ointresserade av de specifika lösningarna på något speciellt diofantiskt problem. Men när matematiker utvecklar nya tekniker, deras kraft kan påvisas genom att lösa tidigare olösta diofantiska ekvationer.

Andrew Wiles bevis på Fermats sista sats är ett känt exempel. Pierre de Fermat hävdade 1637 – i marginalen till en kopia av "Arithmetica, " inte mindre – att ha löst den diofantiska ekvationen xⁿ + yⁿ =zⁿ, men gav ingen motivering. När Wiles bevisade det över 300 år senare, matematiker tog genast notis. Om Wiles hade utvecklat en ny idé som kunde lösa Fermat, vad mer kan den idén göra? Talteoretiker rusade för att förstå Wiles metoder, generalisera dem och hitta nya konsekvenser.

Det finns ingen enskild metod som kan lösa alla diofantiska ekvationer. Istället, matematiker odlar olika tekniker, var och en lämpar sig för vissa typer av diofantproblem men inte andra. Så matematiker klassificerar dessa problem efter deras egenskaper eller komplexitet, ungefär som biologer kan klassificera arter efter taxonomi.

Finare klassificering

Denna klassificering producerar specialister, eftersom olika talteoretiker är specialiserade på tekniker relaterade till olika familjer av diofantiska problem, såsom elliptiska kurvor, binära former eller Thue-Mahlers ekvationer.

Inom varje familj, den finare klassificeringen anpassas. Matematiker utvecklar invarianter – vissa kombinationer av koefficienterna som förekommer i ekvationen – som särskiljer olika ekvationer i samma familj. Att beräkna dessa invarianter för en specifik ekvation är lätt. Dock, de djupare kopplingarna till andra områden inom matematiken innebär mer ambitiösa frågor, som:"Finns det några elliptiska kurvor med invariant 13?" eller "Hur många binära former har invariant 27?"

S-enhetsekvationen kan användas för att lösa många av dessa större frågor. S:et hänvisar till en lista med primtal, som {2, 3, 7}, relaterad till den specifika frågan. En S-enhet är ett bråk vars täljare och nämnare bildas genom att enbart multiplicera tal från listan. Så i det här fallet, 3/7 och 14/9 är S-enheter, men 6/5 är det inte.

S-enhetsekvationen är bedrägligt enkel att ange:Hitta alla par av S-enheter som lägger till 1. Hitta några lösningar, gillar (3/7, 4/7), kan göras med penna och papper. Men nyckelordet är "alla, "och det är det som gör problemet svårt, både teoretiskt och beräkningsmässigt. Hur kan du någonsin vara säker på att alla lösningar har hittats?

I princip, matematiker har vetat hur man löser S-enhetsekvationen i flera år. Dock, processen är så invecklad att ingen någonsin skulle kunna lösa ekvationen för hand, och få fall har lösts. Detta är frustrerande, eftersom många intressanta problem redan har reducerats till att "bara" lösa någon speciell S-enhetsekvation.

Hur lösaren fungerar

Omständigheterna förändras, dock. Sedan 2017, sex talteoretiker i Nordamerika, inklusive mig själv, har byggt en ekvationslösare för S-enhet för matematikprogramvaran SageMath med öppen källkod. Den 3 mars, vi tillkännagav slutförandet av projektet. För att illustrera dess tillämpning, vi använde programvaran för att lösa flera öppna Diophantine-problem.

Den primära svårigheten med S-enhetsekvationen är att även om det bara finns en handfull lösningar, det finns oändligt många S-enheter som skulle kunna vara en del av en lösning. Genom att kombinera en berömd teorem av Alan Baker och en delikat algoritmisk teknik av Benne de Weger, lösaren eliminerar de flesta S-enheter från övervägande. Även vid denna tidpunkt, det kan finnas miljarder S-enheter – eller mer – kvar att kontrollera; programmet försöker nu göra den slutliga sökningen så effektiv som möjligt.

Denna metod för S-enhetsekvationen har varit känd i över 20 år, men har endast använts sparsamt, eftersom de involverade beräkningarna är komplicerade och tidskrävande. Tidigare, om en matematiker stötte på en S-enhetsekvation som hon ville lösa, det fanns inget automatiserat sätt att lösa det. Hon måste noggrant gå igenom Bakers arbete, de Weger och andra, sedan skriva sitt eget datorprogram för att göra beräkningarna. Att köra programmet kan ta timmar, dagar eller till och med veckor för beräkningarna att slutföra.

Vår förhoppning är att programvaran kommer att hjälpa matematiker att lösa viktiga problem inom talteorin och förbättra deras förståelse för naturen, matematikens skönhet och effektivitet.

Den här artikeln är återpublicerad från The Conversation under en Creative Commons-licens. Läs originalartikeln.