En matematiker från RUDN University har föreslagit ett nytt schema för att numeriskt lösa ekvationer med bråkpotenser av elliptiska operatorer. Det nya systemet fungerar snabbare än de befintliga, eftersom det tar hänsyn till egenskaperna hos lösningarna till sådana ekvationer vid singulära punkter. Resultaten kan vara användbara för att beräkna diffusionsprocesser, t.ex. vätskeläckage i ett poröst medium, överföring av näringsämnen genom en cellvägg, och brott i elastiska material. Studien publicerades i Datorer och matematik med applikationer .

Den klassiska diffusionsekvationen är en partiell differentialekvation. Den beskriver processen för distribution av ett ämne i en viss miljö. Lösningen till ekvationen är en funktion av tiden t och punkten x, som visar koncentrationen u (t, x) av ämnet vid punkt x vid tidpunkten t. Om mediet är homogent, då innehåller diffusionsekvationen den första derivatan med avseende på t av u och summan av den andra derivatan av u med avseende på koordinater. Summan kallas Laplace-operatorn, och används inom olika områden av matematik och fysik, inklusive teorin om komplexa funktioner och Schrödinger-ekvationen.

Matematiker Petr Vabishchevich, en anställd vid Scientific Center for Computational Methods in Applied Mathematics vid RUDN University, och hans kollega Raimondas Ciegis, Prof. i matematik vid Vilnius Gediminas tekniska universitet, Vilnius, Litauen, betraktas som en variant av fraktionsdiffusionsekvationen där Laplace-operatorn tas i bråkdelgrad. Graden bestäms av formeln, vilket är praktiskt ur en teoretisk synvinkel, men helt olämplig för beräkningar. Sålänge, praktiska beräkningar relaterade till lösningar är en viktig uppgift för applikationer.

Om det är svårt att lösa en ekvation i allmän form, matematiker använder numeriska metoder. Det finns flera av dem som traditionellt används för fraktionsdiffusionsekvationen. Till exempel, en av dem antar att lösningen reduceras till de sekventiella lösningarna till flera system som kallas lokala. Dessa system har egenskapen elliptisk, det är, sådana ekvationer liknar diffusionsekvationer utan bråkgrad. Sådana system är väl lösta numeriskt. Dock, när den ungefärliga lösningen på det ursprungliga problemet som helhet måste "sammanställas" från de erhållna lösningarna, bitarna "passar inte alltid ihop" bra — den erhållna lösningen approximerar ibland lösningen på det ursprungliga problemet exakt, och ibland skiljer det sig mycket.

Petr Vabishchevich och hans kollega valde ett annat sätt, att reducera lösningen till fraktionsdiffusionsekvationen till flera lokala system. De resulterande systemen hade inte elliptisk egenskap och var ännu värre, på sätt och vis. Dessutom, systemet inkluderade funktioner med diskontinuiteter, vilket vanligtvis innebär låg lösbarhet för numeriska problem. Men i just det här fallet, det visade sig att det korrekta valet av tidssteget för beräkningen, tillsammans med ett bra val av själva systemet, gör det möjligt att erhålla en numerisk lösning som ganska exakt approximerar lösningen på det ursprungliga problemet.

Dessutom, Det verkar som om den metod som föreslås av matematiker vid RUDN-universitetet ofta fungerar snabbare än sina motsvarigheter. Detta beror på att övergången till en ungefärlig lösning sker i det sista steget i det nya schemat. I andra metoder, approximationen sker i flera steg, vilket leder till ackumulering av räknefel. Detta sker inte med den nya metoden.

Bråkdiffusionsekvationerna beskriver den så kallade anomala diffusionen, t.ex., fördelningen av en vätska i ett poröst medium med diskontinuiteter. Dessutom, fraktionerad diffusion beskriver överföringen av näringsämnen inom en cell och i vävnader i allmänhet. Dessa ekvationer i allmän form är inte lösbara, därför, forskare använder numeriska uppskattningar, det är, ungefärliga lösningar. RUDN-universitetets matematikers nya metod gör det i många fall möjligt att utföra beräkningar snabbare.