Johns Hopkins matematiker Joel Spruck och en kollega lyckades nyligen bevisa en långvarig gissning om området med negativt krökta utrymmen, som blomblad eller korallrev, en år lång strävan fulla oväntade hinder och sömnlösa nätter.

Omkring 900 f.Kr. den feniciska prinsessan Dido – störtad av sin hänsynslösa bror – flydde till Afrika för att köpa mark åt sig själv och sina anhängare. Som sagt i Virgil's Aeneid , Kung Jarbas erbjöd henne så mycket land hon kunde innesluta med ett oxskinn.

Smart Dido skar huden i extremt tunna remsor. Placera dem ände mot ände, och använda Medelhavet som en kant, hon bildade en cirkel som var så stor som hennes snöre möjligen kunde tillåta – och lagom stor för grunden till vad som skulle bli staden Kartago.

"Drottning Didos problem, som det är känt, är i början av många ämnen, " konstaterar Johns Hopkins matematiker Joel Spruck. Från en av högarna med böcker och papper som täcker hans skrivbord i Krieger Hall, allt belagt i en fin dis av kritdamm, han hämtar en bok - delvis matematisk teori, del konstbok – med titeln The Parsimonious Universe, som täcker ämnen som form och form, forntida vetenskap, och konceptet med optimal design. Öppnar boken till en illustration av Didos territorium, han förklarar att problemet är relaterat till en mängd matematiska favoritpussel, allt från var snäckskal får sin form till hur växter växer till varför såpbubblor bildas som de gör.

"Det finns många möjliga former, och naturen väljer den som använder minst energi, " säger Spruck. Det följer att formen som omsluter ett givet område med minsta möjliga omkrets är cirkeln - eller, vågar sig på tre dimensioner, sfären.

Enkelt nog. Men saker och ting blir svårare när du vill generalisera denna idé bortom cirklar och sfärer till mer komplicerade situationer. Nyligen, Spruck och en kollega antog den utmaningen och lyckades bevisa en långvarig gissning om att samma princip skulle gälla för andra geometrier. Beviset är ett viktigt steg för fältet matematisk fysik – som går tillbaka till 1600- eller 1700-talet – eftersom det är en fråga som ansluter till många andra problem.

"Det är kärnan i en hel del matematik från 1900-talet, inte bara inom det området utan inom relaterade områden, säger Spruck, den J.J. Sylvester Professor vid institutionen för matematik vid universitetets Krieger School of Arts and Sciences.

Det är också det senaste inlägget i en rad bevis för Cartan-Hadamard-förmodan, uppkallad efter det tidiga 1900-talets matematiker som först ställde upp idén. Redan 1926, gissningen bevisades för två dimensioner. 1984, det bevisades för fyra dimensioner, och för tre 1992. "Då gjorde vi alla andra dimensioner, " säger Spruck. Ett ögonblick efter att ha satt sig ner för att förklara, Spruck hoppar tillbaka upp - en kritastav dyker plötsligt upp i hans hand - och börjar täcka sin svarta tavla på kontoret med ekvationer och krökta former. Utmaningen, han förklarar, var att även om gissningarna var relativt okomplicerade – om du är händig med matematik – i det som kallas euklidiskt rymd, saker och ting blev mer komplicerade, säga, negativt krökt utrymme.

Negativt krökt utrymme, Spruck fortsätter tålmodigt, är som en sadelyta istället för en sfär. Det inkluderar mer yta på mindre utrymme. Tänk blomblad eller korallrev. Universum kan vara negativt krökt - vi vet inte säkert.

Negativt krökta utrymmen utan gränser kallas Cartan-Hadamard-grenrör, och det är där Spruck och hans kollega bevisade gissningen i alla dimensioner. De tillkännagav sitt bevis med ett inlägg på ArXiv (uttalas "arkiv"), en online, öppen plattform där det mesta av modern matematik sker. Många matematiker kollar webbplatsen dagligen för att hålla koll på de senaste teknikerna.

Beviset fyllde ett 80-tal sidor med text och figurer. "Det var svårt eftersom vi var tvungna att uppfinna allt; teknikerna och sånt, de fanns inte, " säger Spruck. Han hade varit nyfiken på problemet länge, och bjöd in en före detta student, Mohammad Ghomi, att ta itu med det med honom. Ghomi, en specialist i klassisk geometri som tog sin Ph.D. från Hopkins 1998, är professor vid Georgia Techs School of Mathematics. Deras visade sig vara en berättelse om matematiskt dramatisk räddning från nära döden.

Spruck hade en idé, men han tyckte det var extremt riskabelt och möjligen "sinsjukt". "Matte handlar om att göra din idé konkret:att ta intuitionen och göra den till något väldigt rigoröst, " säger Spruck. "Så vi skulle försöka skriva upp delar av planen, men det fanns motstridiga tekniska problem."

När ett och ett halvt år gick, de två korsade hinder efter hinder. De kommunicerade via e-post – flera tusen av dem – när Spruck tillbringade sömnlösa nätter på sin soffa med ett papper. Att nå en lycklig slutsats var långt ifrån givet. Vid en stor stötesten som består av saker som kallas "nivåuppsättningar" och "förgrenade snöflingor, "De segrade till slut på styrkan av ett teorem från en helt annan gren av matematiken.

"Det här var ganska känslomässigt svårt, " säger Spruck. "Vi dog tusen gånger och sedan levde. Du har en känsla av att gudarna räddade dig på något sätt."

Denna process av idé-förmodan-idésäker återspeglar den typiska utvecklingen av framsteg i matematik. Människor har insikter om ett visst problem, och även om det inte finns tillräckligt med bevis för att bevisa det, de formulerar vad de tror är sant. De delar det och får omedelbar feedback från en stor grupp andra matematiker som utmanar varandra och finslipar idén. "Det är därför saker och ting går så snabbt i matematik jämfört med andra områden, " påpekar Spruck.

Sedan, vare sig veckor eller decennier senare, någon annan bevisar gissningen, som sedan blir en sats. Samhället hoppar på den nya kunskapsmassan också, tillämpa det på sina egna specialiteter. Namnen på gissarna och bevisarna förblir permanent knutna till deras fynd.

Kommer det att vara vad Spruck och Ghomi kommer ihåg i 100 år från nu? "Det kan bli grejen. Jag är verkligen nöjd med det här, "Spruck tillåter.

Trots all sin konkrethet när den väl når bevisstadiet, matteprocessen förblir anmärkningsvärt mystisk. Spruck säger att han brukar börja med lite intuition om ett problem. Han börjar klottra som ett sätt att fokusera sitt sinne, sedan börjar idéer gradvis dyka upp som hans undermedvetna har arbetat med, och sedan måste han komma på hur han ska göra dem påtagliga. "Elever har fruktansvärt svårt med den delen:"Vad ska jag skriva ner?", säger Spruck.

För Spruck, Att göra matematik liknar att måla – han upplever båda som en form av meditation. Två av hans egna dukar pryder hans kontor.

"Du hamnar i ett visst utrymme, " säger han. "När du verkligen tänker på saker, det är som att vara i ett meditativt tillstånd. Timmar och timmar går och du inser det inte ens.

"Du tar en tom duk, du har vissa grundläggande regler, men allt är öppet. Och det andra som är som med målning, eller något annat, är att älska utmaningarna. Det är inte om du lyckas i stunden; det är att älska processen att gå vilse i det."