Vad gör du efter att ha löst svaret på livet, universum, och allting? Om du är matematiker Drew Sutherland och Andy Booker, du går för det svårare problemet.

Under 2019, Bokare, vid University of Bristol, och Sutherland, huvudforskare vid MIT, var de första att hitta svaret på 42. Siffran har popkulturell betydelse som det fiktiva svaret på "den ultimata frågan om livet, universum, och allting, " som Douglas Adams berömt skrev i sin roman "The Hitchhiker's Guide to the Galaxy." Frågan som föder 42, åtminstone i romanen, är frustrerande, lustigt okänd.

I matematik, helt av en slump, det finns en polynomekvation för vilken svaret, 42, hade på liknande sätt gäckat matematiker i årtionden. Ekvationen x ³ +y ³ +z ³ =k är känt som summan av kuberproblem. Även om det verkar okomplicerat, ekvationen blir exponentiellt svår att lösa när den ramas in som en "diofantisk ekvation" - ett problem som stipulerar att, för valfritt värde på k, värdena för x, y, och z måste vart och ett vara heltal.

När summan av kubekvationen är inramad på detta sätt, för vissa värden på k, heltalslösningarna för x, y, och z kan växa till enorma antal. Talutrymmet som matematiker måste söka över för dessa siffror är ännu större, kräver invecklade och massiva beräkningar.

Över åren, matematiker hade på olika sätt lyckats lösa ekvationen, antingen hitta en lösning eller fastställa att en lösning inte får finnas, för varje värde på k mellan 1 och 100 – förutom 42.

I september 2019, Booker och Sutherland, utnyttja den kombinerade kraften hos en halv miljon hemdatorer runt om i världen, hittade för första gången en lösning på 42. Det allmänt rapporterade genombrottet sporrade laget att ta sig an en ännu svårare, och på något sätt mer universellt problem:att hitta nästa lösning för 3.

Booker och Sutherland har nu publicerat lösningarna för 42 och 3, tillsammans med flera andra siffror större än 100, denna vecka i Proceedings of the National Academy of Sciences .

Tar upp handsken

De två första lösningarna för ekvationen x ³ +y ³ +z ³ =3 kan vara uppenbart för alla algebraelever på gymnasiet, där x, y, och z kan vara antingen 1, 1, och 1, eller 4, 4, och -5. Att hitta en tredje lösning, dock, har stött experter på talteoretiker i decennier, och 1953 fick pusslet den banbrytande matematikern Louis Mordell att ställa frågan:Är det ens möjligt att veta om det finns andra lösningar för 3?

"Det här var ungefär som att Mordell kastade ner handsken, " säger Sutherland. "Intresset av att lösa denna fråga är inte så mycket för den specifika lösningen, men för att bättre förstå hur svåra dessa ekvationer är att lösa. Det är ett riktmärke som vi kan mäta oss mot."

När årtionden gick utan några nya lösningar för 3, många började tro att det inte fanns några att hitta. Men strax efter att ha hittat svaret på 42, Booker och Sutherlands metod, på förvånansvärt kort tid, dök upp nästa lösning för 3:

569936821221962380720 ³ + (-569936821113563493509) ³ + (-472715493453327032) ³ =3

Upptäckten var ett direkt svar på Mordells fråga:Ja, det är möjligt att hitta nästa lösning på 3, och vad mer, här är den lösningen. Och kanske mer allmänt, lösningen, involverar gigantiska, 21-siffriga nummer som inte varit möjliga att sålla bort förrän nu, föreslår att det finns fler lösningar där ute, för 3, och andra värden av k.

"Det hade funnits en del allvarliga tvivel i de matematiska och beräkningsmässiga gemenskaperna, eftersom [Mordells fråga] är mycket svår att testa, " säger Sutherland. "Siffrorna blir så stora så snabbt. Du kommer aldrig att hitta mer än de första lösningarna. Men vad jag kan säga är, efter att ha hittat denna lösning, Jag är övertygad om att det finns oändligt många fler där ute."

En lösnings twist

För att hitta lösningarna för både 42 och 3, teamet började med en befintlig algoritm, eller en vridning av kubsummans ekvation till en form som de trodde skulle vara mer hanterbar att lösa:

k - z ³ =x ³ + y ³ =(x + y)(x ² - xy + y ² )

Detta tillvägagångssätt föreslogs först av matematikern Roger Heath-Brown, som anade att det borde finnas oändligt många lösningar för varje lämplig k. Teamet modifierade algoritmen ytterligare genom att representera x+y som en enda parameter, d. De reducerade sedan ekvationen genom att dividera båda sidor med d och bara behålla resten – en operation i matematik som kallas "modulo d" – vilket lämnar en förenklad representation av problemet.

"Du kan nu tänka på k som en kubrot av z, modulo d, " Sutherland förklarar. "Så tänk dig att arbeta i ett aritmetiksystem där du bara bryr dig om resten av modulo d, och vi försöker beräkna en kubrot av k."

Med den här snyggare versionen av ekvationen, forskarna skulle bara behöva leta efter värden på d och z som skulle garantera att hitta de ultimata lösningarna på x, y, och z, för k=3. Men ändå, utrymmet av siffror som de skulle behöva söka igenom skulle vara oändligt stort.

Så, forskarna optimerade algoritmen genom att använda matematiska "silningstekniker" för att dramatiskt minska utrymmet för möjliga lösningar för d.

"Detta involverar en ganska avancerad talteori, använda strukturen av det vi vet om sifferfält för att undvika att leta på platser vi inte behöver leta, " säger Sutherland.

En global uppgift

Teamet utvecklade också sätt att effektivt dela upp algoritmens sökning i hundratusentals parallella bearbetningsströmmar. Om algoritmen kördes på bara en dator, det skulle ha tagit hundratals år att hitta en lösning på k=3. Genom att dela upp jobbet i miljontals mindre uppgifter, var och en oberoende körs på en separat dator, teamet skulle kunna påskynda sökningen ytterligare.

I september 2019, forskarna satte sin plan i spel genom Charity Engine, ett projekt som kan laddas ner som en gratis app av vilken persondator som helst, och som är designad för att utnyttja all extra datorkraft i hemmet för att kollektivt lösa svåra matematiska problem. Just då, Charity Engines rutnät omfattade över 400, 000 datorer runt om i världen, och Booker och Sutherland kunde köra sin algoritm på nätverket som ett test av Charity Engines nya mjukvaruplattform.

"För varje dator i nätverket, de får höra, "ditt jobb är att leta efter d:s vars primära faktor faller inom detta intervall, på vissa andra villkor, "" säger Sutherland. "Och vi var tvungna att ta reda på hur vi skulle dela upp jobbet i ungefär fyra miljoner uppgifter som var och en skulle ta ungefär tre timmar för en dator att slutföra."

Väldigt snabbt, det globala nätet returnerade den allra första lösningen till k=42, och bara två veckor senare, forskarna bekräftade att de hade hittat den tredje lösningen för k=3 – en milstolpe som de markerade, till viss del, genom att skriva ut ekvationen på t-shirts.

Det faktum att det finns en tredje lösning till k=3 tyder på att Heath-Browns ursprungliga gissning var rätt och att det finns oändligt mycket fler lösningar utöver denna nyaste. Heath-Brown förutspår också att utrymmet mellan lösningar kommer att växa exponentiellt, tillsammans med deras sökningar. Till exempel, snarare än den tredje lösningens 21-siffriga värden, den fjärde lösningen för x, y, och z kommer sannolikt att involvera siffror med häpnadsväckande 28 siffror.

"Mängden arbete du måste göra för varje ny lösning växer med en faktor på mer än 10 miljoner, så nästa lösning för 3 kommer att behöva 10 miljoner gånger 400, 000 datorer att hitta, och det finns ingen garanti för att det ens räcker, " säger Sutherland. "Jag vet inte om vi någonsin kommer att veta den fjärde lösningen. Men jag tror att det finns där ute."