I matematik, enkla ekvationer kan generera en komplex utveckling i tid och spännande mönster i rymden. Ett känt exempel på detta är Mandelbrot-uppsättningen, uppkallad efter den fransk-amerikanske matematikern av polskt ursprung, Benoit B. Mandelbrot (1924-2010), den mest studerade fraktalen. Denna uppsättning är baserad på en enda andragradsekvation med endast en parameter och en variabel. De fascinerande fraktala mönstren i Mandelbrot-uppsättningen har väckt uppmärksamhet långt bortom matematik.

En artikel av Ralph Andrzejak, med titeln "Chimeras begränsade av fraktala gränser i det komplexa planet, " ingår i en specialutgåva av tidskriften Kaos till minne av den ryske professorn Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), publicerad den 3 maj 2021. Andrzejak är chef för den icke-linjära tidsserieanalysgruppen vid UPF Department of Information and Communication Technologies (DTIC). Arbetet generaliserar Mandelbrot-uppsättningen för fyra andragradsekvationer. Figuren som visas ovan är ett exempel på de mönster som genereras genom detta tillvägagångssätt.

En resa genom många storleksordningar

Andrzejak noterar att "komplexiteten i fraktala mönster kan ses när vi kommer närmare allt mindre detaljer, " som författaren illustrerar i bilden nedan. Han förklarar bilden med att "globalt, mönstret som visas i den övre vänstra panelen på figuren liknar Mandelbrots klassiska set. Dock, så snart vi inspekterar detaljerna, vi kan se mönster som inte kan hittas i Mandelbrot-uppsättningen. För att se dessa detaljer bättre, vi förstorar kvadraten för att producera nästa panel."

"Iterativ zoom i fraktala mönster. Från vänster till höger och uppifrån och ned, efterföljande paneler förstorar kvadraterna på motsvarande tidigare paneler. Den första figuren ovan visas igen, här som det femte steget i förstoring.

Författaren använder en jämförelse för att betona att dessa mönster verkligen är i många storleksordningar. Han konstaterar att "zoomningen som tillämpas på de tolv panelerna som utgör bilden motsvarar att spränga en atom till storleken på en SUV-bil." "När vi zoomar in, öka storleken på bilden, vi ser att det finns en rik variation av estetiskt spännande former och former. Mönstren vi har upptäckt kan verka mindre filigran och mindre ordnade, men de kan vara mer varierande än de som finns i Mandelbrot-uppsättningen."

Interaktion av fraktaler och synkronisering

Men det finns mer än fraktala mönster att närma sig Andrzejaks förslag. Eftersom författaren använder fyra ekvationer istället för en, han har också kunnat studera synkronisering inom dessa fraktala mönster. Hur kan vi förstå detta? Andrzejak förklarar genom att säga "Mandelbrot-uppsättningen är baserad på en ekvation med en parameter och en variabel. Vi kan föreställa oss denna variabel som en liten boll som rör sig på ytan av ett stort runt bord. Vad som händer med denna boll beror på parametern för ekvation. För vissa värden av denna parameter, bollen rör sig och ligger alltid på bordet. Uppsättningen av alla dessa parametervärden för vilka kulan ligger kvar på bordet är vad som definierar Mandelbrot-uppsättningen. Tvärtom, för de återstående parametervärdena, bollen faller från bordet någon gång."

Andrzejak fortsätter med att säga att "man kan tro att de fyra ekvationerna vi använder beskriver rörelsen av inte bara en, men fyra bollar på bordsytan. Eftersom ekvationerna hänger ihop, bollarna kan inte röra sig fritt. Dock, de attraherar varandra, som solen, Jorden och månen attraherar varandra genom gravitationen." Forskaren tillägger att "som ett resultat av denna attraktion, de fyra bollarna kan visa olika former av synkronisering. De två ytterligheterna är:De fyra bollarna rör sig tillsammans längs samma banor eller så följer varje boll sin egen väg." Andrzejak betonar sedan att "det viktigaste, bortom dessa ytterligheter, hitta så kallad partiell synkronisering. Till exempel, två bollar kan röra sig synkront tillsammans, medan de andra två bollarna förblir osynkroniserade från denna rörelse. Detta speciella tillstånd av partiell synkronisering kallas chimärtillståndet, " därav rubriken på artikeln.

En fråga av stor betydelse för dynamiken i den verkliga världen

Om vi ​​frågar oss om den matematiska modellen i fråga kan vara relevant för dynamiken i den verkliga världen, Andrzejak svarar "Ja. Absolut. Det bästa exemplet är hjärnan. Om alla våra nervceller synkroniserades eller gick ur synk, vår hjärna kunde inte längre göra sitt jobb. Vår hjärna kan bara fungera korrekt om vissa neuroner synkroniseras medan andra neuroner förblir osynkroniserade. Partiell synkronisering är avgörande för att hjärnan ska fungera ordentligt." Författaren relaterar detta till sitt arbete och säger:"vi visar hur det är möjligt att etablera partiell synkronisering i en mycket enkel modell och, dessutom, vi visar hur denna partiella synkronisering är begränsad inom fraktalgränserna genom fullständig synkronisering och desynkronisering." Författaren avslutar:"Om vi ​​studerar de grundläggande mekanismerna för partiell synkronisering i mycket enkla modeller, detta kan hjälpa till att förstå hur det är etablerat och hur det kan hållas stabilt i så komplexa system som den mänskliga hjärnan."