Matematiker som studerar dynamiska system fokuserar ofta på reglerna för attraktion. Hur påverkar nämligen valet av utgångspunkt var ett system hamnar? Vissa system är lättare att beskriva än andra. En svängande pendel, till exempel, kommer alltid att landa på den lägsta punkten oavsett var den börjar.

Inom forskning om dynamiska system är en "attraktionsbassäng" uppsättningen av alla utgångspunkter - vanligtvis nära varandra - som kommer till samma slutliga tillstånd när systemet utvecklas genom tiden. För enkla system som en svängande pendel är formen och storleken på en bassäng begriplig. Inte så för mer komplicerade system:de med dimensioner som når upp till tiotals eller hundra eller högre kan ha vilda geometrier med fraktala gränser.

I själva verket kan de se ut som tentakler av en bläckfisk, enligt nytt arbete av Yuanzhao Zhang, fysiker och SFI Schmidt Science Fellow, och Steven Strogatz, en matematiker och författare vid Cornell University. De invecklade geometrierna i dessa högdimensionella bassänger kan inte enkelt visualiseras, men i en ny artikel publicerad i Physical Review Letters , beskriver forskarna ett enkelt argument som visar varför bassänger i system med flera attraherande ska se ut som högdimensionella bläckfiskar. De framför sina argument genom att analysera en enkel modell - en ring av oscillatorer som, trots att de endast interagerar lokalt, kan producera otaliga kollektiva tillstånd som synkronisering i fas. Ett stort antal kopplade oscillatorer kommer att ha många attraherande och därför många bassänger.

"När du har ett högdimensionellt system dominerar tentaklarna storleken på bassängen", säger Zhang.

Viktigt är att det nya arbetet visar att volymen av en högdimensionell bassäng inte kan uppskattas korrekt av en hyperkub, hur frestande det än är. Det beror på att hyperkuben misslyckas med att omfatta den stora majoriteten – mer än 99 % – av punkterna i bassängen, som är uppträdda på tentakler.

Uppsatsen antyder också att ämnet högdimensionella bassänger är fullt av potential för ny utforskning. "Geometrin är väldigt långt ifrån allt vi känner till", säger Strogatz. "Detta handlar inte så mycket om vad vi hittade för att påminna folk om att så mycket väntar på att hittas. Detta är den tidiga åldern för utforskning av bassänger."

Arbetet kan också ha verkliga konsekvenser. Zhang pekar på elnätet som ett exempel på viktiga högdimensionella system med flera attraktionsområden. Att förstå vilka utgångspunkter som leder till vilka resultat kan hjälpa ingenjörer att ta reda på hur man håller lamporna tända.

"Beroende på hur du startar ditt nät kommer det antingen att utvecklas till ett normalt drifttillstånd eller ett störande tillstånd - som en blackout", säger Zhang.