En matematisk länk mellan två nyckelekvationer – en som handlar om det mycket stora och den andra, det mycket lilla – har utvecklats av en ung matematiker i Kina.
Den matematiska disciplinen känd som differentialgeometri handlar om geometrin hos släta former och utrymmen. Med rötter som går tillbaka till antiken blomstrade fältet i början av 1900-talet, vilket gjorde det möjligt för Einstein att utveckla sin allmänna relativitetsteori och andra fysiker att utveckla kvantfältteori och standardmodellen för partikelfysik.
Gao Chen, en 29-årig matematiker vid University of Science and Technology i Kina i Hefei, är specialiserad på en gren som kallas komplex differentialgeometri. Dess komplexitet ligger inte i att hantera komplicerade strukturer, utan snarare för att den är baserad på komplexa tal – ett system av tal som utökar vardagliga tal genom att inkludera kvadratroten ur -1.
Detta område tilltalar Chen på grund av dess kopplingar till andra områden. "Komplex differentialgeometri ligger i skärningspunkten mellan analys, algebra och matematisk fysik", säger han. "Många verktyg kan användas för att studera detta område."
Chen har nu hittat en ny koppling mellan två viktiga ekvationer på området:Kähler-Einstein-ekvationen, som beskriver hur massa orsakar krökning i rum-tid i allmän relativitet, och Hermitian-Yang-Mills-ekvationen, som underbygger standardmodellen för partikelfysik.
Chen inspirerades av sin doktorsexamen. handledare Xiuxiong Chen från New Yorks Stony Brook University, för att ta sig an problemet. "Att hitta lösningar på Hermitian-Yang-Mills och Kähler-Einstein-ekvationerna anses vara de viktigaste framstegen inom komplex differentialgeometri under tidigare decennier", säger Gao Chen. "Mina resultat ger en koppling mellan dessa två nyckelresultat."
"Kähler-Einstein-ekvationen beskriver mycket stora saker, lika stora som universum, medan Hermitian-Yang-Mills-ekvationen beskriver små saker, lika små som kvantfenomen", förklarar Gao Chen. "Jag har byggt en bro mellan dessa två ekvationer." Gao Chen noterar att andra broar funnits tidigare, men att han har hittat en ny.
"Denna brygga ger en ny nyckel, ett nytt verktyg för teoretisk forskning inom detta område," tillägger Gao Chen. Hans artikel som beskrev denna bro publicerades i tidskriften Inventiones mathematicae 2021.
I synnerhet kan fyndet komma till användning i strängteori - den ledande utmanaren av teorier som forskare utvecklar i sin strävan att förena kvantfysik och relativitetsteori. "Den deformerade Hermitian–Yang–Mills-ekvationen som jag studerade spelar en viktig roll i studiet av strängteori", konstaterar Gao Chen.
Gao Chen har nu blicken riktad mot andra viktiga problem, inklusive ett av de sju millennieprisproblemen. Dessa anses vara de mest utmanande på området av matematiker och bär ett pris på 1 miljon dollar för en korrekt lösning. "I framtiden hoppas jag kunna ta itu med en generalisering av Kähler–Einstein-ekvationen", säger han. "Jag hoppas också kunna arbeta med andra Millennium Prize-problem, inklusive Hodge-förmodan."
Tillhandahålls av University of Science and Technology i Kina
