Föreställ dig att du står i mitten av en perfekt cirkulär arena och tittar ut på folkmassorna runt kanten. Du ser en vän i en plats och en lärare i en annan. Hur långt ifrån varandra är de? Vilken vinkel bildar siktlinjerna mellan dig och var och en av dem? Dessa frågor besvaras av begreppet en central vinkel .

En mittvinkel är vinkeln som bildas av två radier ritade från cirkelns centrum till två punkter på dess omkrets. De två radierna är siktlinjerna från dig till kompisen och till läraren. Vinkeln mellan dem är mittvinkeln, vinkeln närmast cirkelns mittpunkt.

Vännen och läraren sitter på omkretsen av cirkeln. Den krökta banan längs kanten som förbinder dem kallas en båge .

Hitta centralvinkeln från bågens längd och omkrets

Om du känner till båglängden (avståndet du skulle gå längs arenan för att komma från kompisen till läraren) och den totala omkretsen i cirkeln är förhållandet mellan de två:

båglängd / omkrets =mittvinkel / 360°

Omarrangering ger:

mittvinkel =(båglängd/omkrets) × 360°

Denna andel fungerar eftersom den del av cirkelns omkrets som bågen upptar är exakt samma del av hela 360°-vinkeln.

Hitta centralvinkeln utifrån båglängd och radie

När radien r av cirkeln är känd, kan du beräkna mittvinkeln i radianer med:

θ =s/r

där s är båglängden. Resultatet θ mäts i radianer. Om du föredrar grader, multiplicera radianvärdet med 57,2958 (eller använd helt enkelt omkretsmetoden ovan).

Du kan också lösa för båglängden:

s =θ × r

eller för radien när båglängden och mittvinkeln anges:

r =s / θ

Centralvinkelsatsen

Tänk på att en tredje person – din granne – sitter på motsatt sida av arenan. Ur grannens perspektiv bildar de två siktlinjerna till vännen och läraren en inskriven vinkel (en vinkel vars hörn ligger på omkretsen). Centralvinkelsatsen länkar denna inskrivna vinkel till den centrala vinkeln du observerar:

∠AOC =2∠ABC

Här är punkterna A och B vän och lärare, C är granne och O är centrum. Satsen gäller när grannen ligger på samma sida av ackordet AB som bågen som inte innehåller de andra punkterna.

Undantag från Central Angle Theorem

När den inskrivna punkten C rör sig inuti den lille bågen mellan A och B förändras förhållandet. Den inskrivna vinkeln blir ett komplement till halva mittvinkeln:

∠ABC =180° – (∠AOC / 2)

Med andra ord, den inskrivna vinkeln och halva mittvinkeln summerar tillsammans till 180°.

Visualisera koncepten

Math Open Reference erbjuder ett interaktivt verktyg som låter dig dra grannen runt cirkeln och observera hur de centrala och inskrivna vinklarna utvecklas i realtid. Prova det för en praktisk förståelse av teorin.

DragonImages/iStock/GettyImages