Tänk om ingenjörer kunde designa en bättre jet med matematiska ekvationer som drastiskt minskar behovet av experimentell testning? Eller tänk om väderprognosmodeller kunde förutsäga detaljer i värmens rörelse från havet till en orkan? Dessa saker är omöjliga nu, men skulle kunna vara möjligt i framtiden med en mer fullständig matematisk förståelse av turbulensens lagar.

University of Maryland matematiker Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith och Alex Blumenthal har utvecklat det första rigorösa matematiska beviset som förklarar en grundläggande turbulenslag. Beviset för Batchelors lag kommer att presenteras vid ett möte i Society for Industrial and Applied Mathematics den 12 december, 2019.

Även om alla fysikens lagar kan beskrivas med matematiska ekvationer, många stöds inte av detaljerade matematiska bevis som förklarar deras underliggande principer. Ett område av fysiken som har ansetts vara för utmanande för att förklara med rigorös matematik är turbulens. Sett i havets surf, böljande moln och vaken bakom ett fortande fordon, turbulens är den kaotiska rörelsen av vätskor (inklusive luft och vatten) som inkluderar till synes slumpmässiga förändringar i tryck och hastighet.

Turbulens är anledningen till att Navier-Stokes ekvationer, som beskriver hur vätskor strömmar, är så svåra att lösa att det finns en miljonbelöning för alla som kan bevisa dem matematiskt. För att förstå vätskeflödet, forskare måste först förstå turbulens.

"Det borde vara möjligt att titta på ett fysiskt system och matematiskt förstå om en given fysisk lag är sann, sade Jacob Bedrossian, professor i matematik vid UMD och medförfattare till beviset. "Vi tror att våra bevis ger grunden för att förstå varför Batchelors lag, en nyckellag för turbulens, är sant på ett sätt som inget teoretiskt fysikarbete har gjort hittills. Det här arbetet kan hjälpa till att klargöra några av variationerna i turbulensexperiment och förutsäga inställningarna där Batchelors lag gäller såväl som där den inte gör det."

Sedan introduktionen 1959, fysiker har diskuterat giltigheten och omfattningen av Batchelors lag, som hjälper till att förklara hur kemiska koncentrationer och temperaturvariationer fördelar sig i en vätska. Till exempel, Att röra grädde i kaffe skapar en stor virvling med små virvlar som förgrenar sig från den och ännu mindre som förgrenar sig från dem. När grädden blandas, virvlarna blir mindre och detaljnivån ändras vid varje skala. Batchelors lag förutsäger detaljerna i dessa virvlar i olika skalor.

Lagen spelar en roll i sådana saker som att kemikalier blandas i en lösning, flodvatten blandas med saltvatten när det rinner ut i havet och varmt Gulfstream-vatten kombineras med kallare vatten när det rinner norrut. Över åren, många viktiga bidrag har gjorts för att hjälpa till att förstå denna lag, inklusive arbete vid UMD av framstående universitetsprofessorer Thomas Antonsen och Edward Ott. Dock, ett fullständigt matematiskt bevis för Batchelors lag har förblivit svårfångade.

"Innan professor Bedrossians och hans medförfattares arbete, Batchelors lag var en gissning, sade Vladimir Sverak, en professor i matematik vid University of Minnesota som inte var inblandad i arbetet. "Förutsägelsen stöddes av vissa data från experiment, och man skulle kunna spekulera i varför en sådan lag skulle hålla. Ett matematiskt bevis på lagen kan betraktas som en idealisk konsistenskontroll. Det ger oss också en bättre förståelse för vad som verkligen händer i vätskan, och detta kan leda till ytterligare framsteg."

"Vi var inte säkra på om detta kunde göras, sade Bedrossian, som även har en gemensam anställning i UMD:s Center for Scientific Computation and Mathematical Modeling. "De universella turbulenslagarna ansågs vara för komplexa för att hantera matematiskt. Men vi kunde knäcka problemet genom att kombinera expertis från flera områden."

En expert på partiella differentialekvationer, Bedrossian tog in två UMD-postdoktorer som är experter på tre andra områden för att hjälpa honom att lösa problemet. Samuel Punshon-Smith (Ph.D. '17, tillämpad matematik och statistik, och vetenskaplig beräkning), nu Prager Assistant Professor vid Brown University, är expert på sannolikhet. Alex Blumenthal är expert på dynamiska system och ergodisk teori, en gren av matematiken som inkluderar vad som är allmänt känt som kaosteori. Teamet representerade fyra distinkta områden av matematisk expertis som sällan interagerar i denna grad. Alla var avgörande för att lösa problemet.

"Sättet som problemet har angripits är verkligen kreativt och innovativt, ", sa Sverak. "Ibland kan bevismetoden vara ännu viktigare än själva beviset. Det är troligt att idéer från artiklarna av professor Bedrossian och hans medförfattare kommer att vara mycket användbara i framtida forskning."

Den nya samarbetsnivån som teamet tog med i den här frågan sätter scenen för att utveckla matematiska bevis för att förklara andra obevisade turbulenslagar.

"Om detta bevis är allt vi uppnår, Jag tror att vi har åstadkommit något, " sa Bedrossian. "Men jag är hoppfull att det här är en uppvärmning och att detta öppnar en dörr för att säga "Ja, vi kan bevisa universalitetens turbulenslagar och de ligger inte utanför matematikens område.' Nu när vi är utrustade med en mycket tydligare förståelse för hur man använder matematik för att studera dessa frågor, vi arbetar med att bygga de matematiska verktyg som krävs för att studera fler av dessa lagar."

Att förstå de underliggande fysiska principerna bakom fler turbulenslagar kan så småningom hjälpa ingenjörer och fysiker att designa bättre fordon, vindkraftverk och liknande teknologier eller för att göra bättre väder- och klimatförutsägelser.