Matematiker har öppnat ett nytt kapitel i teorin om månsken, en som börjar utnyttja kraften hos pariaerna - sporadiska enkla grupper som tidigare inte hade någon känd tillämpning.

"Vi har hittat en ny form av månsken, som i matematik syftar på en idé så långsökt att den låter som galenskap, säger Ken Ono, en talteoretiker vid Emory University. "Och vi har använt detta månsken för att visa den matematiska användbarheten av O'Nan pariagruppen på ett sätt som flyttar den från teori till verklighet. Det visar sig att O'Nan-gruppen kan djup information om elliptiska kurvor."

Naturkommunikation publicerade representationsteorin för O'Nan-gruppen utvecklad av Ono, John Duncan (också talteoretiker vid Emory) och Michael Mertens (fd postdoktor vid Emory som nu är vid universitetet i Köln).

"Vi har visat att O'Nan-gruppen, en mycket stor pariagrupp, organiserar faktiskt elliptiska kurvor på ett vackert och systematiskt sätt, " säger Duncan. "Och inte bara organiserar det dem, det låter oss se några av deras djupaste egenskaper. Den ser oändligt många kurvor, vilket gör att vi sedan kan använda vårt månsken för att göra förutsägelser om deras allmänna beteende. Det är viktigt, eftersom dessa objekt ligger till grund för några av de svåraste frågorna vid själva horisonten för talteorin."

Elliptiska kurvor kan låta esoteriskt, men de är en del av vårt dagliga liv. De används i kryptografi - skapandet av koder som är svåra att bryta.

En elliptisk kurva är inte en ellips, snarare är det en komplex torus, eller munkform. "Du kan tänka på det som en munk tillsammans med specifika, känsliga konfigurationer av rationella punkter som är mycket noggrant placerade, " säger Duncan. "Så, i de enklaste termer, det är som en munk du äter, som kan ha strössel på sig. Hela spelet i matematiken med elliptiska kurvor är att avgöra om munken har strössel och, om så är fallet, var exakt strösseln placeras."

Till skillnad från en ätbar munk, dock, dessa matematiska munkar är inte synliga.

"Föreställ dig att du håller en munk i mörkret, " säger Ono. "Du skulle inte ens kunna avgöra om den har strössel. Men informationen i vår O'Nan moonshine tillåter oss att "se" våra matematiska munkar tydligt genom att ge oss en mängd information om punkterna på elliptiska kurvor."

Fynden är särskilt överraskande eftersom ingen av pariaerna, eftersom sex av matematikens sporadiska enkla grupper är kända, hade tidigare dykt upp i månskensteorin, eller någon annanstans inom vetenskapen.

Maths ursprungliga månskensteori dateras till en tidning från 1979 som heter "Monstruus Moonshine" av John Conway och Simon Norton. Tidningen beskrev en överraskande koppling mellan ett massivt algebraiskt objekt känt som monstergruppen och j-funktionen, ett nyckelobjekt i talteorin. 2015, en grupp matematiker - inklusive Duncan och Ono - presenterade bevis på Umbral Moonshine Conjecture, som avslöjade 23 andra månsken, eller mystiska samband mellan dimensionerna av symmetrigrupper och koefficienter för speciella funktioner.

I teoretisk matematik, symmetri kommer i grupper. Symmetriska lösningar är vanligtvis optimala, eftersom de låter dig dela upp ett stort problem i lika delar och lösa det snabbare.

Klassificeringen av byggstenarna i grupper är samlad i ATLAS of Finite Groups, publicerad 1985. "ATLAS är som matematikens version av grundämnenas periodiska system, men för symmetri istället för atomer, " förklarar Duncan.

Både ATLAS och det periodiska systemet innehåller knäppa tecken som kanske - eller kanske inte - finns i naturen.

Fyra supertunga grundämnen med atomnummer över 100, till exempel, upptäcktes 2016 och lades till i det periodiska systemet. "Människor måste arbeta hårt för att producera dessa grundämnen i partikelacceleratorer och de försvinner direkt efter att de är konstruerade, " säger Ono. "Så du måste undra om de verkligen är en del av vår vardagskemi."

Pariagrupperna ställer en liknande fråga i matematik. Är de naturliga eller helt enkelt teoretiska konstruktioner?

"Vårt arbete bevisar, för första gången, att en paria är verklig, " säger Ono. "Vi hittade O'Nan-gruppen som lever i naturen. Vårt teorem visar att det är kopplat till elliptiska kurvor, och närhelst du hittar en korrespondens mellan två objekt som till synes inte är relaterade, det öppnar dörren för att lära dig mer om dessa föremål."