Andas. När dina lungor expanderar, luft fyller 500 miljoner små alveoler, var och en en bråkdel av en millimeter tvärs över. När du andas ut, dessa miljontals små andetag smälter samman utan ansträngning genom större och större luftvägar till ett ultimat andetag.

Dessa luftvägar är fraktala.

Fraktaler är ett matematiskt verktyg för att beskriva objekt med detaljer i varje skala. Matematiker och fysiker som jag använder fraktaler och relaterade begrepp för att förstå hur saker och ting förändras från små till stora.

Du och jag översätter mellan vitt skilda skalor när vi tänker på hur våra val påverkar världen. Bidrar denna latte till klimatförändringarna? Ska jag rösta i detta val?

Dessa konceptuella verktyg gäller såväl kroppen som landskap, naturkatastrofer och samhället.

Fraktaler överallt

1967, frågade matematikern Benoit Mandelbrot, "Hur lång är Storbritanniens kust?"

Det är en trickfråga. Svaret beror på hur du mäter det. Om du spårar konturen på en karta, du får ett svar, men om du går längs kusten med en meterpinne, resultatet är helt annorlunda. Den som har försökt uppskatta längden på en oländig vandringsled från en karta känner till den storskaliga bildens förräderi.

Det är för att lungor, den brittiska kustlinjen och vandringslederna har alla fraktalitet:deras längd, antal grenar eller någon annan mängd beror på skalan eller upplösningen du använder för att mäta dem.

Kustlinjen är också sig själv - den är gjord av mindre kopior av sig själv. Ormbunksblad, träd, snigelskal, landskap, silhuetterna av berg och flodnätverk ser alla ut som mindre versioner av sig själva.

Det är därför, när du tittar på ett flygfoto av ett landskap, det är ofta svårt att avgöra om skalstången ska vara 50 km eller 500 m.

Dina lungor är sig själva, eftersom kroppen fint kalibrerar varje gren i exakta proportioner, gör varje gren till en mindre kopia av den föregående. Denna modulära design gör lungorna effektiva i alla storlekar. Tänk på ett barn och en vuxen, eller en mus, en val. Den enda skillnaden mellan liten och stor är hur många gånger luftvägarna förgrenar sig.

Självlikhet och fraktalitet förekommer i konst och arkitektur, i valven inom valv av romerska akvedukter och spiror av gotiska katedraler som speglar skogens tak. Även forntida kinesiska kalligrafer Huai Su och Yan Zhenqing uppskattade fraktaliteten hos sommarmoln, sprickor i en vägg och vattenfläckar i ett läckande hus år 722.

Skalinvarians

Självliknande objekt har en skalinvarians. Med andra ord, vissa fastigheter innehar oavsett hur stora de blir, som lungornas effektivitet.

I själva verket, skalinvarians beskriver vad som förändras mellan skalor genom att säga vad som inte förändras.

Leonardo da Vinci observerade att, som trädgrenar, den totala tvärsnittsarean för alla grenar bevaras. Med andra ord, gå från stam till kvistar, antalet grenar och deras diameter ändras med varje förgrening, men den totala tjockleken på alla grenar som buntas ihop förblir densamma.

Da Vincis observation innebär en skalinvarians:För varje gren av en viss radie, det finns fyra nedströmsgrenar med halva radien.

Jordbävningsfrekvensen har en liknande skalinvarians, som observerades på 1940-talet. De stora kommer att tänka på — Lissabon 1755, San Francisco 1989 – men många små jordbävningar inträffar i Kalifornien varje dag. Gutenberg-Richter-lagen säger att jordbävningsfrekvensen beror på jordbävningens storlek. Svaret är förvånansvärt enkelt. En tiofaldigt större jordbävning inträffar ungefär en tiondel så ofta.

Samhället och maktlagen

En 1800-talsekonom Vilifredo Pareto – känd i handelsskolan för 80/20-regeln – observerade att antalet familjer med en viss förmögenhet är omvänt proportionell mot deras förmögenhet, höjt till någon exponent. Pareto mätte exponenten för olika år och olika länder och fann att den vanligtvis var runt 1,5.

Paretos förmögenhetsfördelning kom att kallas maktlagen, till synes på grund av exponenten eller "makten".

Allt som liknar sig har en motsvarande maktlag. I en apriltidning, min kollega och jag beskriver motsvarande maktlag för lungor, blodkärl och träd. Den skiljer sig från Paretos maktlag endast genom att ta hänsyn till specifika förhållanden mellan grenar.

Storleken på förmögenheter är då besläktade med storleken på trädkvistar eller blodkärl – några få stammar eller stora grenar och exponentiellt fler små kvistar.

Pareto tänkte på sin fördelning av rikedom som en naturlag, men många olika modeller för social organisation ger upphov till en Pareto-fördelning och samhällen varierar i ojämlikhet i välstånd. Ju högre Paretos exponent, desto mer jämlikt är samhället.

Från att förstå hur människor består av små celler till hur vi påverkar planeten, självlikhet, fraktalitet och skalinvarians hjälper ofta till att översätta från en organisationsnivå till en annan.

Den här artikeln är återpublicerad från The Conversation under en Creative Commons-licens. Läs originalartikeln.