Matematiker från RUDN University och Nuclear Safety Institute of the RAS (NSI RAS) har föreslagit en numerisk metod för att lösa ekvationer som beskriver utbredningen av ljus i ett medium. De använde den olinjära ekonala ekvationen med randvillkor som grund. Ett sådant problem kan inte lösas direkt, så matematikerna utvecklade en numerisk metod, gjort beräkningar, och tog fram en bild av sådana lösningars "beteende". Resultaten kan bli grunden för en omfattande teori om ungefärliga lösningar av sådana differentialekvationer. Metoden kan tillämpas vid framställning av linser och optiska kristaller. Artikeln publicerades i Journal of Computational and Applied Mathematics .

Eikonalekvationen är en ickelinjär partiell differentialekvation. Den beskriver utbredningen av ljus i ett medium och är nödvändig för att lösa problem inom optik. Det gör det möjligt att ansluta plan optik, undervisas i skolor, och vågoptik, som beskrivs med komplexa ekvationer.

Det är traditionellt att använda en metod baserad på att lösa ett stort system av olinjära ekvationer för att hitta en numerisk lösning (dvs. för att erhålla en tillräckligt exakt ungefärlig lösning) för den ekonala ekvationen.

RUDN University och NSI RAS matematiker använde ett annat tillvägagångssätt, vilket gör det lättare att hitta en lösning för den icke-linjära ekonalekvationen med hjälp av en numerisk metod:en förändring av variabler med tillägg av en parameter. Förändringen resulterar i nya ekvationer, som, å ena sidan, är enklare än de första:problemet blir linjärt. Å andra sidan, deras lösningar är inte det ursprungliga systemets lösningar. Dock, När parametern minskar kommer lösningarna för det nya systemet närmare lösningarna för det ursprungliga.

Matematiker minskade gradvis (med ett visst fast värde) värdet på den adderade parametern och för varje sådant värde löste ekvationen numeriskt. För varje efterföljande parametervärde jämfördes den resulterande lösningen med de föregående. När parametern minskade ändrades lösningarna mindre och mindre, det är, resultatet av beräkningarna stabiliserades. Det visade sig att en tillräckligt stabil lösning kräver ett relativt litet parametervärde. Den resulterande lösningen togs som en approximation av den ursprungliga ekvationen.

Matematikerna har visat att en sådan metod ger ganska bra resultat på representativa modellproblem.

"Beräkningskomplexiteten - de så kallade "beräkningskostnaderna" för det tillvägagångssätt vi talar om - överstiger inte den för andra tillvägagångssätt. Även om, vi löser ett linjärt gränsvärdesproblem, och det, självklart, är mindre mödosamt än att lösa ett olinjärt problem, " förklarade Petr Vabishevich, författaren till studien och en medlem av Research Center for Computational Methods in Applied Mathematics vid RUDN University.

Vabishevich och hans medförfattare modellerade ekvationen för anisotropa medier. Ur fysikens synvinkel, detta är en miljö där de fysiska egenskaperna för ljusutbredning i olika riktningar inte är desamma. Material med dessa egenskaper används nu i stor utsträckning i optiska enheter.

Förutom optik, den eikonala ekvationen används också för att numeriskt lösa ekvationer som beskriver en vätskas rörelse. Sådan modellering är nödvändig för att skapa realistiska bilder i datorgrafik, t.ex. i filmen "Pirates of the Caribbean" drogs vattnet inte bara ut utan beräknades på en fysisk nivå. Beräkningshastigheten, som potentiellt skulle kunna förbättras med den metod som utvecklats av matematiker vid RUDN University och NSI RAS, spelar en nyckelroll i sådana fall.