Kredit:CC0 Public Domain
En matematiker från RUDN University undersökte egenskaperna hos vågfronter i reaktions-diffusionsmodeller. Resultaten kommer att hjälpa till att studera spridningen av virus i vävnader och att förutsäga ekosystemens utveckling. Artikeln publicerades i tidskriften Icke-linjäritet .
Reaktions-diffusionsmodeller representerar generaliseringar av Ficks diffusionsekvation; de beskriver koncentrationen av ett ämne i ett medium som en funktion av rumskoordinaten och tiden. Förändringshastigheten för koncentrationen är proportionell mot den andra derivatan av koncentrationen med avseende på koordinaten. Reaktions-diffusionsekvationer beskriver inte bara diffusion utan också kemisk reaktion som gör sådana modeller mer intressanta och svåra att studera.
En av typerna av reaktionsdiffusionsmodeller är tidsfördröjda modeller, där den olinjära termen (reaktionshastigheten) inte bara beror på den okända funktionen vid en given tidpunkt, men också på dess värde för en tid sedan. Sådana modeller uppstår inom matematisk ekologi, till exempel, där förseningen i ekvationerna är relaterad till mognadsperioden för en individ, dvs. den tidsperiod då djuret inte deltar i reproduktionen och inte påverkar populationstillväxten. Liknande problem uppstår i kontrollteorin:det finns ofta system som reagerar på exponering med en fördröjning. Också, resultaten kan tillämpas i matematisk modellering inom biomedicin.
En matematiker från RUDN University, Vitaly Volpert, tillsammans med en chilensk kollega, betraktas som en tidigare outforskad version av den tidsfördröjda reaktions-diffusionsekvationen.
Tidigare verk har betraktat modeller som begränsas av monotoni i reaktionstermen, som begränsade deras tillämpning till nya problem inom matematisk biologi och ekologi. Men i det nya verket beaktas två mer komplexa versioner av reaktions-diffusionsekvationen.
Arbetet bevisade förekomsten av lösningar med monotona vågfronter till en specifik typ av bistabila reaktions-diffusionsekvationer. Den fysiska innebörden av sådana processer kan förklaras på följande sätt:systemet har två stabila tillstånd och vågfronten fortplantar sig från en stabil jämvikt till en annan.
Matematikerna fann att beroende på vågens hastighet, ett av två scenarier för utveckling av vågfronter realiseras. I det första fallet, vågorna är alltid monotona, och i den andra, där det finns stora förseningar, de börjar svänga.
De erhållna resultaten gör det möjligt att tillämpa reaktions-diffusionsmodeller på nya verkliga problem. Till exempel, forskare kan nu matematiskt modellera spridningen av virus i vävnader. Detta kommer att ge svar på frågor om hur utvecklingen av sjukdomen beror på den initiala virusbelastningen och på hastigheten och intensiteten av immunsystemets svar. I praktiken, detta kommer att förbättra noggrannheten hos tester som upptäcker kroniska sjukdomar.
Också, nya resultat gör det möjligt att ta hänsyn till Allee-effekten, dvs. förhållandet mellan befolkningens storlek och dess reproduktionshastighet. I ekonomin, detta kommer att hjälpa till att optimera fiskodlingar och rädda hotade arter. I allmänhet, vetenskapliga upptäckter inom detta område har många tillämpningar inte bara inom matematisk biologi och ekologi, men också i problem med kemisk kinetik och kontrollteori.