En matematiker från RUDN University har bevisat att det inte finns några lösningar på funktionella differentialojämlikheter förknippade med ekvationerna av Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)-typ, olinjära stokastiska partiella differentialekvationer som uppstår när man beskriver yttillväxt. De erhållna förhållandena för frånvaro av lösningar kommer att hjälpa till vid studier av polymertillväxt, teorin om neurala nätverk, och kemiska reaktioner. Artikeln publicerades i Komplexa variabler och elliptiska ekvationer .

Den största svårigheten med icke-linjära partiella differentialekvationer är att många av dem inte löses exakt. För praktiska ändamål, sådana ekvationer löses numeriskt, och frågorna om deras lösningars existens och unika blir problem som forskare har kämpat över i årtionden, och ibland århundraden. Ett av dessa problem - Navier-Stokes existens och smidighet - ingick i den berömda listan över Millennium Prize-problem:Clay Mathematical Institute i USA erbjuder ett pris på 1 miljon dollar för att lösa något av dessa problem.

Varje partiell differentialekvation definieras i ett visst område, t.ex., på ett plan eller i en sfär, eller i rymden. Vanligtvis, det är möjligt att hitta en lösning på sådana ekvationer i ett litet område av en punkt, d.v.s. en lokal lösning. Men det kan förbli oklart om det finns en global lösning för hela området och hur man hittar den.

Ett annat problem med icke-linjära partiella differentialekvationer är att deras lösningar kan "spränga, " det är, plötsligt börjar tendera till oändligheten med ändliga tidsintervall. Om detta händer, det betyder att det inte finns någon generell lösning. Och vice versa, om en generell lösning inte finns, det betyder att varje lokal lösning som hittas också måste "sprängas" någonstans. Därför, det är viktigt att leta efter förhållanden under vilka det inte finns någon generell lösning.

Matematiker använder differentiella ojämlikheter i sina försök att hantera detta problem. Kärnan i metoden är att det är möjligt att få icke-strikta olikheter som kommer att vara "starkare" än den ursprungliga ekvationen från den ursprungliga partiella differentialekvationen. Sedan, om en funktion inte uppfyller dessa ojämlikheter, det är definitivt inte en generell lösning på den ursprungliga ekvationen.

Matematikern Andrei Muravnik vid RUDN University Mathematical Institute använde metoden för ojämlikheter. Han generaliserade de befintliga satserna till det kvasilinjära fallet som uppstår vid studiet av ekvationerna av KPZ-typ. De erhållna förhållandena begränsar inte bara mängden möjliga lösningar till ekvationerna av KPZ-typ, men är också nödvändiga för lösbarheten av problem som uppstår i praktiken. Särskilt, dessa resultat hjälper till att lösa problemen med yttillväxt när man modellerar beteendet hos polymerer, och kan också användas i teorin om neurala nätverk.

Ojämlikhetsmetoden förutsäger teoretiskt det diskontinuerliga beteendet hos fysiska system som beskrivs av ekvationerna av KPZ-typ. Detta kommer att göra det möjligt att dra slutsatser om de fysikaliska egenskaperna hos dessa system. Också, denna metod kan hjälpa till med problemen med utvidgning av lokala lösningar. Sådana metoder blir nödvändiga när beräkningsmetoder inte längre räcker till. Liknande problem uppstår i teorin om trafikflöden, kemiska reaktioner med diffusion, samt vid modellering av fasövergångar.

Under de senaste åren har teorin att det inte finns några generella lösningar på olinjära problem har utvecklats längre. En artikel av Andrei Muravnik fortsätter denna trend. Förutsättningarna för att lösningar inte existerar är intressanta inte bara ur teoretisk synvinkel, men också för att de kommer att hjälpa forskare att studera en mängd tillämpade problem. Inom en snar framtid, RUDN-universitetets matematikresultat kan hitta många tillämpningar inom tillämpad matematisk fysik.